Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 70

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Представим определитель исходной матрицы разложенным по элементам второй строки. Тогда правая часть равенства (1.34) мо­ жет быть записана в виде

k (ü2XA2X

~Ь « 2 2 - ^ 2 2

«гзЛ2 з) = (ka2X) А21 + (ka22) А22 +

+ (ka23)

Л 2 3 .

 

 

Последнее

выражение по свойству 2 (теореме замещения) равно

определителю матрицы, получающейся из данной заменой элемен­

тов второй строки на числа соответственно ka21,

ka22,

ka23,

т. е.

определителю, стоящему в левой части равенства

(1.34).

общий

З а м е ч а н и е .

Свойство 6 иногда

формулируют

так:

множитель всех элементов одной строки

(столбца)

можно выносить

за знак

определителя.

 

 

 

 

 

 

7. Определитель

матрицы,

у которой

все элементы

какой-либо

строки

(столбца) равны нулю,

равен

нулю.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть, например, все элементы вто­

рой строки матрицы третьего порядка равны нулю. Разлагая оп­

ределитель матрицы

 

по элементам

этой

строки, получим

 

 

« и

«12

«12

0А21

+ 0 Л 2 2

+ 0 Л 2 3 = 0

 

 

О О О

 

 

^31

^я

9.

^ :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

*32

"-33

 

 

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е .

 

Свойство 7 можно рассматривать как частный

случай свойства 6 при k =

0.

 

 

 

 

 

8.

Определитель

матрицы,

у

которой

соответствующие

эле­

менты

двух строк

(столбцов)

пропорциональны,

равен нулю.

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

 

Пусть, например, в матрице третьего

порядка пропорциональны

элементы первой и третьей строк,

т. е.

 

*31

 

киц,

а32

— kaX2,

а33

—

kaX3,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тогда, используя свойство 6, а затем свойство 5, будем иметь

а1Х

Ö12

«із

«11

«21 û2 2

«23 =

a2X

«зі

а32

«зз

kaxx

«12

«13

axx

«12

«13

«22

«23

= k «21

«22

«23 = 0

kaX2

kaxs

« n

«12

«13

9. Определитель

 

матрицы,

y

которой все элементы

какой-либо

строки

(столбца)

представляют

собой сумму

двух слагаемых, равен

сумме двух определителей матриц,

получаемых

из данной

матрицы

заменой

элементов

рассматриваемой

строки

(столбца) соответст­

венно на первые и на вторые

слагаемые.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть, например,

в матрице

третьего

порядка

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ап = ап-

аІ9

= а[2

+ а

 

*13*

 

 

 

 

 

"12'

 

 

20

Разлагая определитель этой матрицы по элементам первой строки

и используя свойство 2 (теорему замещения), будем иметь

 

 

12 *12

"13 I

"43

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

І 2 1

и22

 

 

 

=

fail

+ a n

R n

+

К

 

а ; 2

) л ! 2 +

а3і

г32

 

а зз

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а'13Л 13

 

а'п Л

 

а 1 2 Л 1 2 +

 

 

 

аи

а ; 2

 

а і з

+ «21

а 2 2

а і з

 

 

 

 

+ а і з А з —

«21

а 2 2

 

а 2 3

û 2 3

 

 

 

 

 

 

ÛS1

а 3 2

 

а 33

 

ÛS1

а 3 2

а з з

 

 

 

10. Определитель

матрицы,

 

получающейся

из данной

прибавле­

нием к элементам

какой-либо

строки

(столбца)

соответствующих

элементов другой

строки

(столбца),

 

умноженных

на

любой

общий

множитель,

равен

определителю

исходной

матрицы.

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Прибавим,

например,

к

элементам

первого столбца матрицы третьего порядка элементы третьего

столбца,

умноженные на число k. Тогда, используя свойство 9,

а затем

свойство 8, будем иметь

о п т

ka13

Û12

Oj.3

« 2 1 + ka23

û 2 2

° 2 3

=

a 3 i + ka33

û 3 2

а з з

 

+

ka13

a 1 2

« 1 3

ka23

û 3 3

a 2 3

=

ka33

a 3 2

ß 3 3

 

 

a 1 2

Ois

 

a 2 2

û 2 3

+

 

û 3 2

a 3 3

 

a n

Û12

a i 3

 

^21

a 2 2

û 2 3

 

Û81

a 3 2

û 3 3

11. Сумма

произведений

элементов какой-либо строки

(столбца)

матрицы

на

алгебраические

дополнения элементов другой

строки

(столбца)

равна нулю.

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Рассмотрим, например, сумму про­

изведений элементов первой строки матрицы третьего порядка на

алгебраические дополнения элементов

третьей строки:

a l l ^ 3 1 + a l2^32 ~Т~

#13^33-

По свойству 2 (теорема замещения) эта сумма равна определи­ телю матрицы, получающейся из данной заменой третьей строки

строкой из чисел а1Ъ а12,

а13,

т. е.

определителю

 

 

ß n

a

i 2

а і з

 

 

<221 Û22 ^23

 

 

a

l

l

a l 2

ß13

Но этот

определитель,

имеющий две одинаковые строки, по

свойству 5

равен нулю.

Таким

образом,

a ll - ^31 ~Ь ^12^32 ~Ьa31^33 = 0.

21

1.6. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ

В основе метода вычисления определителей высших порядков лежит свойство 1, по которому каждый определитель может быть представлен в виде суммы произведений элементов любой строки или столбца на их алгебраические дополнения. Благодаря этому свойству вычисление определителя я-го порядка сводится к вычис­ лению п определителей п—1 порядка. Объем вычислений может быть значительно сокращен при удачном выборе строки или столбца,

по элементам которых производится

разложение

определителя.

Так, если некоторые элементы строки

или столбца

равны нулю,

то, очевидно, что при вычислении определителя путем разложения его по элементам такой строки или такого столбца отпадает необ­ ходимость в вычислении соответствующих алгебраических допол­ нений. Имея это в виду, обычно, путем использования свойства 10, добиваются того, чтобы в одной из строк или в одном из столбцов оказалось как можно больше элементов, равных нулю. Вообще же при помощи свойства 10 можно в любой строке или в любом столбце получить все элементы, кроме одного, равными нулю, так что вы­ числение определителя я-го порядка можно свести к вычислению одного определителя п—1 порядка.

Пример 1. Вычислить

определитель

третьего порядка

 

 

2

— 1

D

=

2

3

 

 

•6

3

Прежде всего заметим, что элементы второго столбца имеют общий мно­ житель 2, а элементы третьей .строки — общий множитель 3. Поэтому, ис­

пользуя свойство

6,

вынесем эти множители

за знак

определителя. Получим

 

 

 

 

3

1

D =

2

1

= 2-3

— 5

 

 

 

 

 

2

1

Прибавляя теперь третью строку к первой, будем иметь 0

D = 6

Ясно, что данный определитель целесообразно вычислять разложением по элементам первой строки, где всего один элемент отличен от нуля . Итак,

D = 6-5

1

3

-

= 30-4 = 1 2 0 .

 

— 1

1

Пример 2. Вычислить определитель пятого порядка

D =

22

Будем вычислять определитель разложением по элементам третьего столбца, в котором два элемента равны нулю. Можно в этом столбце полу­ чить еще два нулевых элемента, если ко второй и четвертой строкам приба­ вить пятую строку, умноженную соответственно на 3 и на — 4. Тогда полу­ чим, что

— 2

О

6

— 2

 

1

Ö

5

— 9

 

D = 3

О

5

3

 

2

О

— 6

18

О

— 1

 

— 4

 

Таким образом, будем иметь

 

 

 

 

 

— 2

 

6

—2

D = ( — 1).(— 1 ) 5 + 3

1

 

5

—9

 

3

 

5

3

 

2

 

— 6

18

Д л я вычисления полученного определителя 4-го порядка прибавим к пер­

вой, третьей и четвертой строкам

вторую строку,

умноженную соответственно

на 2, — 3, — 2. Получим

 

 

 

 

 

0

23

16

— 20

D

1

8

5

— 9

0

— 20

— 10

30

 

 

0

— 23

— 16

36

Разлагая теперь определитель по элементам первого столбца, получим (вынося предварительно за знак определителя общий множитель — 10 у элементов третьей строки), что

;

23

16

—20

D = — 101

2

1 — 3

 

23

— 16

36

Прибавляя к первой строке 3-ю строку, будем иметь

 

 

0

0

16

D — —10 '

 

2

 

• 3

 

— 23

16

36

 

 

 

— 10-16-( — I) 1+3

2

-

=

— 160 ( — 32 + 23) = 1450.

 

-23

16

 

1.7. ИССЛЕДОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ТРЕХ

ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ

В § 2 с помощью определителей второго порядка была изучена система двух уравнений с двумя неизвестными. Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

011*1

+ 012*2

а13*3

=

 

^21*1

02 2*2

û23*3

=

(1.35)

а з і * і ~Ь #32*2

а зз*з

:

b3,

23

матрица которой

«ii

« 1 2

« 1 3

(1.36)

А = « 2 1

« 2 2

« 2 3

« 3 1

« 3 2

« 3 3

 

представляет собой квадратную матрицу 3-го порядка. Для исклю­ чения неизвестных х 2 и х3 умножим обе части первого, второго и третьего уравнений системы (1.35) соответственно на алгебраиче­ ские дополнения А1Х, Л2 1 , А31 элементов ахх,а2Х,азх матрицы (1.36), а затем произведем почленное сложение левых и правых частей по­

лученных

равенств. В

результате

будем

иметь

 

 

( « 1 1 ^ 1 1

"Г

« 2 1 ^ 2 1

"Г" « 3 1 ^ 3l) %1 ~Р

( « 1 2 ^ 1 1

~t~

« 2 2 ^ 2 1

~\~ « 3 2 ^ Зі) -*"2 ~Ь

+ ( « і з ^ и

-г « 2 з ^ 2 і +

« з з ^ з і ) х3

=

М п

+

M a i

+ Ь3А31.

(1.37)

В равенстве

(1.37)

коэффициент

при

неизвестном хх,

равный

сумме

произведений

элементов

первого

столбца

матрицы

(1.36)

на их алгебраические дополнения, по свойству 1 определителей (теорема разложения) равен определителю этой матрицы (опреде­ лителю системы)

D

« 1 1

« 1 2

«13

 

а,21

« 2 2

« 2 3

(1.38)

 

« 3 1

« 3 2

«33

 

 

 

 

4

 

Коэффициенты же при неизвестных х 2 и х3,

равные суммам про­

изведений соответственно элементов второго и третьего столбцов матрицы (1.36) на алгебраические дополнения элементов первого столбца, по свойству 11, равны нулю; наконец, свободный член, равный сумме произведений свободных членов системы Ьх, Ь2 и Ъ3 на алгебраические дополнения элементов первого столбца матрицы (1.36), по свойству 2 (теорема замещения) равен определителю мат­ рицы, получающейся из матрицы системы заменой первого столбца,

состоящего

из

коэффициентов

при

неизвестном

хх>

столбцом

из

свободных

членов.

Обозначая

этот

определитель

через

Dx

 

 

 

 

 

 

 

bx

аХ2

û i 3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dx

=

Ь2

« 2 2 « 2 3

 

 

 

(1.39)

получим

 

 

 

Dx,

 

Dx.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

А

Аналогично,

действуя

с множителями Ах2,

А22,

А32

и

Ахз,

А з з , получим уравнения, содержащие по одному из остальных

неизвестных х2

и х3.

В результате будем иметь

систему

 

 

 

 

 

 

 

D-xx

=

Dx,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

D-x2

=

D2,

 

 

 

(1.40)

 

 

 

 

 

D-x3

=

D3,

 

 

 

 

 

24

Смотрите также файлы