Файл: Итенберг, С. И. Линейная алгебра и аналитическая геометрия на плоскости. Введение в анализ учеб. пособие.pdf

2лп +

— )

г-: 2л +

— , 4л +

—

. 6

7 1 + - . • • •

2 J

2

2

2

для которой

тоже

lim хп—\іт

^2лп

+ - ^ - j

=

+

'оо.

Имеем sin

=

sin \2лп

-V- —А

1 для всех

и.

Следовательно,

в этом

'

2

/

случае соответствующая

последовательность

[sin хп^

значений

функции

sin А; стремится к пределу

1. Но отсюда следует,

что lim sin х не существует.

Л»-fco

lin X а\

(5.24)

х »а

второй — если f (х) ^ С

= const, то

lIm/(*) = limC = C,

(5.25)

х-^а

х-'а

Как было показано, формула \\mf(x)

= A означает,

что для

х->а

любой последовательности \хп) значений

аргумента х,

принадле­

жащей области определения функции / (х) и стремящейся

к а, со­

ответствующая последовательность {f(xn)\

значений функции всегда

стремится к одному и тому же А.

Пусть а — число. Наложим на последовательность

{хп}

допол­

ряющей двум условиям:

1) хп < а для всех п и 2) lim хп

= а, по­

следовательность

{/ (хп)}

всегда стремится

к одному и тому же пре­

делу А, то это А

называется л е в ы м

п р е д е л о м

функции

/ (х) в точке а и обозначается символами А

= lim f (х), А =

f (а—0)

x,

2.

Если для любой

последовательности [хп\ значений аргумента

принадлежащей

области определения функции / (х) и удовлетво­

ряющей двум условиям: 1) хп

>

а для всех n и 2) lim хп

— а, по­

следовательность,

\f (хп)\

всегда

стремится к

одному

и тому же

пределу

А,

то

это А

называется

п р а в ы м

п р е д е л о м

функции

/ (х)

в

точке

а

и

обозначается

символами

А =

=

lim / (x), А

=

f (а +

0)

или А =

,

ж->а+0

У

-

lim / (х).

х-а

x а

функции

Левый и правый пределы

/

(х) в точке

а

называются

о д н о ­

с т о р о н н и м и

п р е д е л а м и

функции

/ (х)

в этой

точке.

Одно­

сторонние

пределы

функции

/ (х)

0

в точке а могут

быть

неравны

друг

другу

(рис.

78). Из

существования

предела

функции

/ (х)

при

х

а

/ (а — 0)

вытекает

существование

односторонних

пределов

и / (а +

0). Обратное

утверждение справедливо не всегда: суще­

ствование

предела

функции

f (х) при х -> а

вытекает

из су­

ществования

односторонних

пределов

f (а — 0) и / (а +

0)

только

Определение 1.

Функция

f (х)

называется

бесконечно

малой

величиной

при x

а, если

lim / (х) = 0.

Определение 2.

х*а

Функция

f (х) называется

бесконечно

большой

величиной

при x

а, если lim / (х) =

оо (и в частности, +

со или

x >а

лов." -f- с о , — оо, оо .

В силу определения

1 и формулы (5.25) функция / (л;) = 0, тож­

дественно

равная нулю

(т. е. равная нулю для всех значений х),

является

частным случаем бесконечно малой величины при х -> а.

Теорема

1. Если

f (х) — бесконечно малая

при х -> а, то —

бесконечно

большая;

если f (х) — бесконечно

большая при х ->• а,

то —

бесконечно

малая.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Пусть / (х) — бесконечно

малая

при

x -> а, т. е. lim / (х) =

0. Это значит,

что

для любой

последова-

X

>а

тельности

[хп\

значений аргумента х такой, что lim хп

— а, соот­

ветствующая последовательность

{f (хп)}

значений

/ (х)

имеет

пре­

делом 0. Но тогда функция f (хп)

целочисленного

аргумента

п бес­

конечно

мала,

а

обратная

ей функция

—-— бесконечно

велика

(см. § 5.8),

т. е.

f(Xn)

1-

1

l i m

= оо .

/(*«)

Итак, для любой последовательности {хп}

значений аргумента х,

стремящейся

к

а,

последовательность

(—î—) соответствующих

значений

функции

\J{xn)

J

на основании вто-

f(x)

стремится к о о . Отсюда

рого определения

функции

следует,

что

предела

l i m

= оо ,

х->а

І(х)

т. е. что функция —1

бесконечно большая при х -> а.

fix)

Вторая

часть

теоремы

доказывается

аналогично.

Пример

1.

Вычислить

lim —!— . Имеем

1 і т л : = о о ,

т. е. х — бесконечно

большая .

По

доказанной

теореме

функция

—^- есть

бесконечно

малая

при

х - > о о , Т. е. l i m — ! - = 0.

X -КОО

x

l i m — . Имеем

lim х

— 0,

т. е. х

—

бесконечно

Пример 2.

Вычислить

х - о

x

х-.О

малая . Тогда по доказанной теореме

функция

—^- есть

бесконечно

большая

при х->0,

т. е.

l i m — с ю .

x >0 X

Определение. Функция

ср (х)

называется

ограниченной

на

нет'

тором, промежутке,

если

существует

такое

положительное

число

т, что для

всех

х

из этого промежутка

выполняется

неравенство

ср (x) I <

т.

Так,

например,

функция

sin х ограничена

на всей

числовой

оси, так как.во всяком случае

j sin xj не превосходит

1 для всех х.

Последующие три теоремы,

как и теорема

1, доказываются с ис­

вующих теорем для функций целочисленного аргумента.

Доказа­

тельство этих теорем предоставим читателю.

Теорема

2.

Если функция

ср (х) при

х -* а стремится

к

конеч­

ному

пределу,

то в достаточно

малой

окрестности точки

а

функ­

ция

ср (х)

ограничена.

Теорема 3.

Если

ср (х)

ограничена

в

некоторой

окрестности

точки

a,

a f (х) — бесконечно

мала

при

х

а, то

произведение

ср (х) f (х)

является

бесконечно

малой

величиной

при х

->

а.

Теорема 4.

Если

функция

ср (х) при

х -> а стремится

к

отлич­

ному

от

нуля

пределу, a

f (х) — бесконечно

большая

при

х ->- а,

то произведение

ср (х) f (х)

является

бесконечно

большой

при х а.

5.15. ТЕОРЕМЫ О КОНЕЧНЫХ

ПРЕДЕЛАХ ФУНКЦИЙ

Теорема 1. Если

при х — а функции f (х) и ср (х) стремятся

каждая к конечному

пределу, то

lim [f (х) ± (f(x)] =

\imf(x)

± 1ітср(л:).

(5.26)

х-у а

х-у а

х-'а

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Примем

lim f (х) = A,

lim ср (х) — В

в силу второго определения предела

Х-'й

X

'й

функции это значит, что для

любой последовательности

\хп\

значений аргумента,

стремящейся

к a (lim хп = а), последовательности

{/ (хп)\ и

{ср (хп)}

соответст­

вующих

значений

функций

f (х) и ср (х) стремятся соответственно

к А и В.

Но тогда

(§ 5.10 теорема

1) последовательность

{/ (хп) ±

± ср (хп)\

стремится к пределу А

±

В.

Итак, для любой последовательности

[хп\ значений

аргумента х,

стремящейся к а,

последовательность

(/ (хп) ±

ср (хп)}

соответст­

вующих значений функции f (х) ±

ц> (х) всегда стремится к А ± В,

lim

[/ (х) ± ср (х) ] = А ± В;

но это и есть (5.26).

Х-Уй

Теорема распространяется на любое конечное число слагаемых.

Последующие три теоремы

доказываются

аналогично, поэтому

их

доказательства

предоставим

читателю.

Теорема 2. Если

при х ->

а

функции

f (х)

и ср (х)

стремятся

каждая к конечному

пределу,

то

lim [f (х) • <р (х)} = lim / (х) • lim ф (х).

(5.27)

х^-а

х-у а

х-у а

\im[f(x)]m

=

\imlf(x).f(x)

. . . f(x)] =

х-у а

I

X -а

„

m раз

= l i m / W - l i m / ( x ) . . . lim/(>;) = [lim/(je)]4 ',

(5.28)

X - a

х-у

a

X y a

x^a