Файл: Даниленко, Д. К. Конспект лекций по курсу начертательной геометрии. Ортогональные проекции.pdf

Рис. /4/

дакіж, шшшт

Взаиииое пересечение поверхностей

} 35. Пересечение кривых поверхностей.

На рис. Ш , заданы пересекающиеся сферическая я коническая поверхности, Необходимо построить проекции линии их пересечения.

Для рассматриваемых поверхностей, выгоднее всего применять уде известный нам приём введения вспомогательных секущих пдоокостей.

Сформулируем порядок решения задачи.

1. Расоечь заданные поверхности вспомогательной плоскостью,

выдрав её так, чтоды получивниеоя сечения были наиболее простой формы( прямые линии или окружности).

2. Построить в 1 сечения и отметить точки пересечения их одноимённых проекций. Эти точки являютоя проекциями точек при­ надлежащих искомой линии пересечения.

3. Повторять упомянутые построения до тех пор, пока ве на­ копятся должное количество точек для надёжного проведенія иско­ мой кривой.

Проанализируем, какие ие плоскости будут давать наиболее простые сечения задан иых поверхностей? Как известно, сфера рао-

секается любой плоскостью по окружвоотн, во это оеченже будет проецироваться в виде окружное« только в том случае, когда ое-

кущая плоскость окажется параллельной плоскости проекций.

Таким образом, применительно к сфере, нас уотроят и горизон­ тальные, н фронтальные плоскости. Для конуса такие наиболее удоб­ ны горизонтальные плоское«, т .к . онн будут расоекап его по ок-

-2.52 -

ружкостям проецирующимся на плоскость Н в натуральную величи­

ну. Фронтальные же плоскости будут рассекать заданный конус по гиперболам, за исключением одной - проходящей через ось повер­ хности. Эта плоскость, как известно, пересечёт конус по образу­ ющим, ' т.е. сечение будет иметь форму треугольнике.

Останавливаемся на горизонтальных вспомогательных секущих

плоскостях. Напомним, что особое значение имеют наивыслая и нан-

яизюая точки искомой линии пересечения, а такие точки лежащие на очерках заданных поверхностей.

Приступим к решению задачи, для чего заключим основание

димой в том случае, если она расположена на видимой части обе­ их поверхностей. Поэтому, на гор изонталь кой плоскости проекций,

видимой будет та часть кривой, которая расположена в северном полушарии сферы.

А на фронтальной плоскости проекций - часть кривой распо­ ложенной на передней, обращённой к наблюдателю, половине поверх­ ности сфера.

Таким образом, граница видимости будет лежать в плоскости экватора и главного меридиана.

Ддя выявления точек линіи пересечения лежащих иа вквато-

ре сферы, проведём через него вспомогательную оекущую горизон­

тальную плоскость R , Эта плоскость пересечёт поверхность ко­ нуса по окружности радиуса Г2 . Проведя горизонтальную проек­

цию втой окружности, фиксируем точки пересечения её с одноимён­

ной проекцией экватора - точки 3 и а . фронтальные проекции втих

точек найдутся на одноимённой проекции экватора.

Горизонтальные проекции точек 3 и а определяют границы ви­

димости одноимённой проекции линии пересечения. Для получения промежуточных точек линии пересечения, вводим вспомогательную

местится по дуге окруявоотн в точку Ot .

фронтальная проекция этой точки найдётся на одноимённом следе горизонтальной плоскости, > которой проксходит проотраяст-

ковую образующую конуса в точке 9,', горизонтальная проекция кото­ рой будет находиться на одноимённом следе плоскости Q .

Для получения горизонтальзой проекции наивысшей точки ли­ нии пересечения, следует полученную точку 9',, из центра окруж­ ности основания конуса, повернуть до совпадения е прямой соеди­ няющей центры окружностей - горизонтальных очерков заданных по­ верхностей.

Фронтальная проекция точки 9 найдётся на одноимённом сле­ де плоекооти Ы , в которой происходит пространственное переме­ щение этой точки. Для нахождения точек линии пересечения принад­ лежащих правой очерковой образующей конуса, заключим ею во фрон­

тальную плоскость Q . Эта плоскость рассечёт сферу по окруж­ ности радиуса Г7 , которая на фронтальную плоскость проекций спроецируется в натуральную величину. 0

Точки пересечения фронтальных проекций этой окружности я правой очерковой образующей конуса - точки 10' и І і ' - являются

Фронтальными проекциями точек, в которых эта образующая пересе­ кает поверхность сферы.

Горизонтальные проекции этих точек найдутся на одноимён­

к соединяющая их кривая - горизонтальная проекция искомой линки пересечения - будут видимы.

- 2?5

По горизонтальной проекции сферы видим, что одноимённые

н проекции точек 2, I, 7, 4 и б - расположены ниже горизонталь­ ного диаметра окружности, в которую проецируется сфера на плос­ кость Н, т .е , сами точки лежат на передней половине поверхнос­ ти заданной сферы. Это означает, что фронтальные проекции упо­ мянутых точек - видимы.

Если, мы с полной очевидностью можем утверждать, что гра­ ницей видимости горизонтальной проекции линии пересечения бу­ дут точки 3 и 4, то для фронтальной проекции, у нас, ясности пока нет.

Для получения точек линии пересечения принадлежащих одно­ временно и главному миридиану сферы, нужно было бы,заключить его во вспомогательную фронтальную плоскость и построить гипер­ болу, по которой зта плоскость пересечёт заданный конус.

Построенная на , горизонтальная проекция линии пересече­ ния позволяет избежать построения лекальной кривой - гиперболы.

Плоскость главного меридиана сферы пересекается с линией пере­ сечения в точке 1 2 и в непосредственной близости от точки 2 .

Фронтальная проекция точки 1 2 найдётся на одноимённой про­ екции главного меридиана и в втой точке фронтальная проекция линии пересечения отаиет невидимой.

Видимостью участка кривой в районе точки 2, мы пренебре­ гаем, т .к . в принятом масштабе его показать невозможно. В не­ которых случаях, при построении линии пересечения двух поверх­ ностей, не удаётоя подобрать такие вспомогательные секужне плоо-

кости, которые рассекали бы заданные поверхности по оечениям проотой конфигурации.

На рис. 142, представлены поверхности тора я прямого кру­ гового конуса. Если для построения лавин их пересечения при-

- 25? -

шить быстро и просто, применяя вместо вспомогательных секуцих плоскостей, секущие сферы. Для полного уяснения втого способа,

рассмотрим некоторые предварительные соображения.

Пусть нам будет задан прямой круговой цилиндр, который пе­ ресекается со сферой, центр которой находится на оси цилиндра.

На рис. 145, показано ортогональное и наглядное изображение

этих пересекающихся поверхностей. Очевидно, эти поверхности будут пересекаться по окружностям расположенным, в нажем олучае в го­

ризонтальных плосхостях.

На Фронтальную плоскость проекций (см . рис. ІНЭ) эти окруж­

ности спроецкруются в виде двух горизонтальных прямых. На том же рис. ІВЗ, дано ортогональное и наглядное изображение пере­

секающихся прямого кругового конуса и сферы, причём ось коиу-

са проходит через центр сферы. И в этом случае, окружности, по которым будут рассекаться заданные поверхности спроеднруются