Файл: Даниленко, Д. К. Конспект лекций по курсу начертательной геометрии. Ортогональные проекции.pdf

- 258

- 259 -

мянутых цилиндра и конуса. Построим независимо друг от друга проекции окружностей, по которым сфера будет пересекаться о ци­ линдром и конусом. Пересекаясь с цилиндром, сфера образует дне

ности одной сферы, но тачки пересечения их будут лежать на всех трёх поверхностях,и три иа них, попарно, пересекаются а точках Л

и В. Ути точки лежат и на поверхности конуса и на поверхности ци­ линдра, а , значит, лежат на искомой линии пересечения,

ных ва ряс. 145 поверхностей, необходимо, из точки пересечения фронтальных проекций их осей, провести окружность произвольно­ го радиуса, которая будет являться одноимённой проекцией вспо­ могательной секущей сферы. Точки пересечения втой окружности с проекциями очерковых образующих заданных поверхностей, соединим отрезками прямых. Эти отрезки прямых являются проекциями окруж­ ностей, по которым эти поверхности переоекавтоя вспомогательной

сферой.

I I I

Точки пересечения упомянутых отрезков прямых - точки О н о

- Являются, как уже упоминалось, проекциями тачек принадлежащих искомой линии пересечения.

Проводя из того же центра секущие сферы другого радиуса,

будем получить всё новые точки линии пересечения, эти построе­

ния следует продолжать до тех пор, пока полученные тачки не обес­ печат надёжного проведения проекций линии пересечения.

Как видим, способ секущих сфер прост я удобен, однако сле­ дует заметить, что он не универсален и может применяться толь­

ко в случае пересечения поверхностей вращения - пересекающимися осями

261 -

Применим способ секущих сфер для решения задачи приведён­ ной на рис. 142 и'на этом примере подробно поясни» последо­ вательность построений проводимых при использовании этого способа.

заданы поверхности вращения с пересекающимися в точке о осями.

Некоторые т о ч к е ис ко мой л и н и и пересечения не требуют ни­

нужно отнести и точку В - пересечения большего основавия ко­ нуса с главным меридианом тора, лежащими во Фронтальной плос­ кости проходящей через точку 0 .

Для каховденвя других точек д и к и е пересечения воспользу­

емся рассечением заданных поверхностей вспомогательными секу ­ щими сферами. Проведём сферу радиуса Г». Проекциями этой сфе­ ры будут окружности заданного радиуса, описанные из одноимён­

ных проекций точки 0 . Эта окружность на горизонтальной плос­ кости проекций пересечёт одноимённую проекцию девой очерковой

образующей '8 точке I, через которую проводим гог-ьонтальную

прямую'- проекцию окружности, по которой вспомогательная сфера р а -

262 -

диуса Г, пересекает заданнув коническую поверхность, на фрон­

тальную плоскость проекций эта окружность спроецируется в нату­ ральную величину - окружностью радиуса o'l'.

фронтальная проекция секущей сферы - окружность описанная

из точки О1пересекает окружность главного меридиана тора в точ­ ке г', горизонтальная проекция которой найдётся в проекционной

связи, на одноимённой проекции главного меридиана.

Проводя из центра О Дугу окружности радиуса о 2, получаем горизонтальную проекцию окружности, по которой вспомогательная сфера пересекает тор. Эта окружность на фронтальную плоскооть спроецируется в горизонтальную прямую проходящую через точку 2 е.

Горизонтальная проекция этой окружности пересекает одноимённую проекцию окружности, по которой сфера пересекает конус (горизон­

тальная прямая проходящая через точку I ) , в точке С - горизон­

тальной проекции точки принадлежащей искомой линии пересечения.

Фронтальная проекция этой точки найдётся в проекционной свя­

зи, на пересечении дуги окружности радиуса о 'і 'с горизонтальной

прямой проходящей через точку 2

Для получения следующих точек принадлежащих искомой линии

Dи Е .

Проведя плавные кривые через одноимённые проекции построен­

ных точех: А, Е, D , С и В, получаем проекции искомой линии пере­ сечения.

На горизонтальной плоскости проекций линия пересечения вид­ на на всём протяжении, т .к . она расположена на видимых, верхних половинах пересекающихся поверхностей.

На фронтальной плоскости проекций, часть кривой, располо­ женной на внутренней половине поверхности тора, будет невидимой

263 -

приём , границей видииости будет точка касания проекции линии пересечения с верхним очерком поверхности тора, горизонтальной

сечении построенной одноимённой проекции линии пересечения с го­ ризонтальной проекцией окружности верхнего очерка поверхности

тора (на рис. 142. сливается с окружностью радиуса Гг ) .

Помимо рассмотренного способа секущих сфер, существует це­

лый ряд приемов позволяющих, с пользой для дела, отказаться от применения вспомогательных секущих плоскостей уровня.

Существует много задач, реяение которых упрощается, если

вместо плоскостей уровня применять, соответствующим образом по­

кие поверхности, линию пересечения которых необходимо построить.

Любая аз проецирующих плоскостей будет пересекать хотя бы

одну из заданных поверхностей по лекальной кривой, что, как из­ вестно, затрудняет построения и снижает ях точность.

Бели же заданные поверхности пересекать плоскостями обще­

го положения, параллельными их осям, то эти поверхности будут

прямые соответственно параллельные образующим заданных поверх­

- 265 -

к о стя т параллельными плоскости Р ( плоскости параллелизма),

то заданные поверхности будут пересекаться ими по образующим.

Этот способ хорош ещё тем, что позволяет сразу найти точ­

ки пересечения произвольной образующей одной поверхности, со второй поверхностью.

Поканем это на примере.

Допустим, нам необходимо найти точки, в которых правая

очерковая образующая бодьвего цилиндра (пересекающая плоскость Н в точке 2) встречается о поверхностью меньшего цилиндра.

Заключаем эту образующую во вспомогательную плоскость Т,

параллельную плоскости параллелизма Р. Горизонтальный след

ся плоскостью Т.

Проведём горизонтальные проекции этих образующих, через

одноимённые проекции точек э и ц, параллельно оси цохиндра.

Эти проекции пересекут одноимённые проекции очерковой образу­

проекции упомянутой очерковой образующей. Совершенно аналогич­

но могут быть найдены точки линии пересечения лежащие на ле­ вой очерковой образующей малого цилиндра, которая пересека­

ет плоскость Н в точке 5. ^

266 -

Заключим эту образующую в плоскость Q , параллельную

плоскости р. Горизонтальный след плоскости Q - О « будет

екции образующих, по которым плоскость Q пересекает этот ци­ линдр. Эти проекции, пересекают одноимённую проекцию очерко­ вой образующей в точках С и d .

Фронтальные проекции этих точек найдутся, в посекционной связи, на одноимённой проекции этой образующей. Повторяя описан­ ные построения, можно найти произвольное число точек принадле­ жащих искомой линии пересечения и соединив их одноимённые про­ екции плавными кривыми, завершить решение задачи.

Заметим, что при помощи плоскости параллелизма, выгодно решать задачи по построению линии пересечения двух наклонных

призм или призмы и цилиндра

О

рассмотрим ещё один частный способ решения задач, очень удобный в случаях, когда заданы пересекающиеся наклонные ци­ линдр и конус, призма и пирамида, прйзма и конус или цилиндр и пирамида.

Для всех этих комбинаций пересекающихся поверхностей выгодно брать вспомогательные секущие плоскости общ его поло­ жения, проходящие через вершину конуса или пирамиды и парал­ лельные рёбрам призмы или образующим цилиндра.

Рассмотри« задачу такого типа на примере пересекающих­

ся наклонных шиикдоа к конуса (рис. ІЧб).

- 267 -

оси цилиндра (проекции пряной пройдут через одиоинённне проек­ ции точки -S параллельно проекциян оси цилиндра) и найдём го­ ризонтальный след этой прямой - точку ы.

Этим способом, носящим наименование пучка плоскостей, проще всего строить линию пересечения двух поверхностей упомянутых ни стр . 266 . Этот способ может битъ применён и ■ случае пере­ сечения двух накловных конусов, конуса и пирамиды или двух пирамид.