Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 109

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Гл. VI. Понятия классической теории потенциала

67

жат е, причем х не полярна, а у полярна, то мы можем снова добавить к Се окрестность точки у.

12. Свойства, относящиеся к выметенным мерам. е') Для любой супергармонической функции ѵ ^ О на Q

Я§(*) =

(8)

Поэтому для потенциала и меры р,

 

& e„ = J & eox dp.

(9)

Прежде всего, если функция ср^О конечна, не­ прерывна, имеет компактный носитель и представляется

в виде

разности V, — Ѵ2 непрерывных потенциалов,

то мы

рассматриваем

 

функцию

$ ѵ ,(х ) — &ѵг(х), не

зависящую

от

выбора

указанного

представления

(см. с'))

и линейную относительно ср. Согласно аппро­

ксимационной

лемме,

существует единственная

мера

Радона

ß x ^ O

на Q,

не

зависящая

от ср, Ѵь

Ѵ2 и

такая,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

&ѵх(х) — $ ѵ , (х) =

| ( ^ 1

— ^ 2) dyx.

 

 

Если

V — конечный, непрерывный потенциал,

то мы

полагаем Ѵх— ѵ, V2—

 

 

(где

t > множества

имеют только

регулярные

граничные

точки,

Q„ сп Q

и и ^ п — й),

и так как

Ѵ2 стремится к нулю,

то мы

получаем

(х) — J ѵ d\xx.

Затем

эта

формула обоб­

щается на случай любого потенциала и любой супер­ гармонической неотрицательной функции (нужно ис­ пользовать возрастающие последовательности подхо­

дящих функций).

 

 

Наконец, используя уже

полученное, видим, что

@ах {у) =

$ Ь у (х) =

J Gy (z) diix (z),

откуда и следует,

что у х — ЬІ .

8*

 

 

68

Ч. 1. Внутренняя тонкая

топология

П р и м е н е н и е

1 (к

гармонической мере). Из

общей

формулы следует,

что для относительно ком­

пактного открытого множества со

 

Щ (х) = \ f d b ^ .

Это вытекает из равенства Я “ =

для потенциалов

и из аппроксимационной леммы.

 

Следовательно,

мера

bfx совпадает с гармониче­

ской мерой в X для со. Отсюда можно вывести, что для любого открытого со мера Ь?х есть сужение на да fl й гармонической меры в х0 для со').

П р и м е н е н и е

2. Рассмотрим меры р, ѵ, соот­

ветствующие мм

потенциалы и, о и для некоторого

множества е выметенные меры р', ѵ' и их потен­ циалы u', ѵ'. Тогда

I и dv' = | v' dp = I и' dv = J V dp'.

Это следует из (7).

f f) Мера b% есть интеграл семейства мер bl по мере р, т. е. для любой конечной непрерывной функ­

ции ер с компактным носителем интеграл J ф dblx

является ^.-суммируемым и

j Ф db%= [ ( j ф dbix ) dp (х).

(11)

Более общо, мы покажем, что если функция ф

(^-суммируема, то интеграл J я[idblx имеет смысл

dp -почти всюду и

j ф dbl — j ( J ф {у) dbtx {у)) dp (х).

(12))*

*) Исторически интегральное представление ff“ в R3 было

получено (Валле-Пуссен []]) при помощи меры, соответствую­ щей другой процедуре выметания.

Гл. VI. Понятия классической теории потенциала

69

Отсюда

следует, что

для любого

борелевского

мно­

жества

а

 

 

 

 

bl (а) =

J ЬІх (а) ф

(х).

(13)

При доказательстве достаточно рассмотреть слу­ чай ер, ф ^ О . Когда ф является потенциалом, резуль­ тат верен. Далее, согласно аппроксимационной лемме

(п. 9,

б)), существует

последовательность

функций

Ѳ „^ 0

с компактными носителями, которая равно­

мерно сходится к ф,

причем Ѳ„ является

разностью

двух

конечных непрерывных потенциалов

с компакт­

ным носителем и мажорируется некоторой константой,

а

также

функцией

М ф ,

суммируемой

по мерам ф

и dbl. Поэтому

 

 

 

В

силу

(10)

левая

часть

есть интеграл по мере ф

от функции J

Bndb£x, который мажорируется

 

I

%GX, dblx ^

KGXi и

стремится к J

ф dblx>

Отсюда следует формула (11). В случае общей функ­ ции ф введем последовательность ф„ J, полунепрерыв­ ных снизу функций !>ф , а также последовательность

ф 'f

полунепрерывных

сверху функций

и <Сф

так,

чтобы интегралы J

фд db^ и J

фд db^ стремились

к

J ф dbl- Тогда

 

 

 

 

J

ф d b l= j ( J lim фд

ф = J

( J lim фдф ^ ] ф ,

так что J ф dblx и

| ф dbix равны ф-почти всюду, и

мы получаем (12).

 

 

 

 

 

З а м е ч а н и е .

Для

потенциала

и меры

ц имеем

откуда (ф (Q) (Q) (см. конец п. 8). Отме­ тим, что это — следствие случая ц = гх (соответствую­ щее свойство получается из формулы (8)) при ѵ = 1.

70

Ч. 1. Внутренняя тонкая топология

Глава VII

К Л А ССИ Ч ЕСК А Я ТОНКАЯ ТО П О Л О ГИ Я .

ОБЩ И Е СВ О Й СТ В А

1.Будем исходить из пространства Грина П и конуса Ф неотрицательных гипергармонических функ­

ций. Отметим

прежде

всего,

что топология

на Q

совпадает с

3~й, т.

е. со

слабейшей топологией,

в которой функции из Ф полунепрерывны снизу. Это вытекает, например, из того факта, что любая точка х0е й является глобальным пиком для Gx, (см. гл. I, п. 1, и гл. V I, п. 5). Напомним, что классы полярных, строго полярных и пренебрежимых множеств совпа­ дают и что такие множества разрежены в каждой точке.

Т е о р е м а

V II. I. Разреженность множества е

в точке х0ф е

эквивалентна суіцествованшо такой

супергармонической функции ѵ в открытой окрест­ ности со0 точки х0, что

V (Хп) <

lim inf V (х).

X е

е , х - > х й

Отсюда следует локальный характер разреженности.

Нужно лишь убедиться, что указанное условие влечет за собой разреженность относительно Q и Ф. Мера, ассоциированная с о в окрестности точки х0, имеет G-потенциал, удовлетворяющий тому же самому неравенству. Возможно также не пользоваться этой мерой, а построить неотрицательную супергармониче­ скую функцию в Q, которая вблизи х0 с точностью до гармонической функции совпадает с ѵ (см. аксиома­ тические теории).

Т о н к а я т о по ло г ия в е?-п р о с т р а н с т в е . Если в качестве определения разреженности принять свой­ ство, указанное в предыдущей теореме, то дополне­ ния к разреженным множествам будут удовлетворять аксиомам для окрестностей (как в любом гриновом подпространстве) и определят так называемую тон­ кую топологию данного пространства; она индуцирует

Смотрите также файлы