Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 110

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

Гл. VII. Классическая тонкая топология

71

в

каждом подпространстве Грина его собственную

тонкую топологию.

 

 

З а м е н а н и е. Всякое множество е, разреженное

в

точке х0 ф. е, содержится в открытом

множестве

бф х0, также разреженном в х0.

2.Вернемся к пространству Грина Q и дадим при­ менение результатов гл. I—V. Мы разовьем и допол­

ним некоторые разделы классической теории потен­ циала, следуя Брело [8]').

Т е о р е м а

V I I .2.

Разреженность (множества е

в х0ф е)

 

всегда строга (и

эквивалентна сверхразре­

женности, см. гл. I, п. 4, и гл. II, п. 3).

Доказательство.

Если

 

и — супергармоническая

функция

^ 0 ,

конечная в х0,

то

 

и ( х )=

J

G (x, y)d\n(y) +

J

G(x,

y)d\i(y) +

V \

(л-o)

 

 

C V

+

II (W )G Xt + h {x),

где h — гармоническая функция, V — некоторая окрест­ ность точки х0, а р — мера, ассоциированная с и- Второй интеграл и последующие члены конечны и не­ прерывны в х0 (р ( {х0) ) есть нуль, если множество {х0} полярно). Первый интеграл произвольно мал при под­ ходящем выборе V. Теперь доказательство завер­ шается применением теоремы II. 8.

У п р а ж н е н и е .

Доказать

непосредственно,

что

разреженность

влечет за собой сверхразреженноеть.

Т е о р е м а V II. 3.

Неразреженность (множества е

в х0ф е) всегда

строгая.

 

 

 

Доказательство. Согласно замечанию, сделанному

перед теоремой

II. 12, нам

нужно

показать,

что

sup R iS'&(xo)= Ri (хо) (хофе),

где

б — произволь-

6

 

 

 

 

 

ная окрестность точки ,ѵ0. Достаточно рассмотреть убывающую последовательность б„ ( П = {лг0}).

1) См. также Картам [1,2].

72

Ч.

1.

Внутренняя

тонкая

топология

 

Используя

результаты

гл.

V I, п. 10,

получаем

 

р е]у

p e1(x.Q) о

) =

<

 

Ч б " ( - ѵ'о )-

с) и е));

 

 

= R] (л-0)

(согласно

это дает нужное нам свойство.

 

 

Таким

образом,

применимы

теоремы

III. 1, 2, 3

о тонких пределах.

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

V II. 4.

В пространстве Q нет сингуляр­

ных точек (г.

е.

ß \

(х) всегда неразрежено в точке х).

Разреженность е в х

0 эквивалентна тому,

что е \ (х0)

разрежено

и

{.v0] f] е

полярно,

а также эквивалентна

слабой разреженности. Необходимым и достаточным условием разреженности е в ,ѵ0 является выполнение

соотношения

inf Р\ п 0 (л'о) < I

(или = 0 , что равно­

сильно), где

а — произвольная

окрестность точки х0.

Таким образом,

 

полуполярность^ полярность^ пренебрежимость.

Доказательство. Полунепрерывность снизу и нера­ венство со средним для супергармонических функций показывают, что Q \ {х0} неразрежено. Дальнейшие свойства являются следствиями результатов гл. V, п. 4.

Заметим, что полярные множества разрежены в любой точке (и не содержат неполярных точек). Разреженность множества е в х0 сохраняется при выбрасывании из е или добавлении к е полярного множества.

Т е о р е м а V II. 5. Пусть а — окрестность точки х0, а V — конечный непрерывный потенциал > 0 на Q. Неразреженность множества е в х0 эквивалентна тому, что равенство

РѵПа(хо) = и(х0),

выполняется в одной из следующих ситуаций:

а) для всех а и ѵ,

ß) для всех V и для какой-нибудь одной а, у) для всех а и для какого-нибудь одного ѵ.

Гл. V II. Классическая тонкая топология

73

Доказательство. Если дго^е, то І?оПа(хо) == <Rono(xo).

Из предложений II. 4 и II. 5 вытекает эквивалентность неразреженности условию у), а также необходимость условий а) и ß). Далее, пусть выполнено ß). Из раз­

реженности е П а следовало бы,

что для потенциала U

(гл. V I, п. 9, у)), согласно

предложению II. 6,

Runa (хо) < U (хо). Значит, е Г) сг и е неразрежены. Пусть Если точка х0 не полярна, то имеют место неразреженность и одновременно а), если же х0 полярна, то наше утверждение эквивалентно анало­

гичному утверждению для е \ (x0).

3. Т е о р е м а V II. 6.

Существует конечный непре­

рывный потенциал U >

0, такой, что для любого

множества е множество тех точек, где оно разрежено, совпадает с множеством {х, Ru (х) < U (х)}.

Доказательство.

Достаточно

взять тот же самый

потенциал U (гл.

V I, п. 9).

Предыдущаятеорема

показывает, что указанное неравенство влечет за собой разреженность, а как мы только что напоминали, из разреженности следует неравенство.

Т е о р е м а V II. 7 (Брело [5,6]). Мнооюество тех точек из е, где е разрежено, есть полярное множество.

Доказательство. Очевидно, что Ru — U на е,

а теорема сходимости показывает, что Ru = Ru квазивсюду.

С л е д с т в и е . Полярное множество е можно оха­ рактеризовать, как множество, разреженное в любой точке, или как множество, разреженное в любой точке из е, или, наконец, как множество, образованное полярными тонко изолированными точками.

У п р а ж н е н и е . Доказать теорему V II. 7 без при­ влечения U, используя счетный базис открытых мно­ жеств и критерий из теоремы V II. 4.

Б а з а м н о ж е с т в а (множество

тех точек, где е

неразрежено, см. определение V. 9).

Это множество

74

Ч. 1, Внутренняя тонкая топология

состоит из тонких предельных точек') множества е и из неполярных точек множества е. Тонкое замыка­ ние ё есть объединение базы В е и (полярного) множе­ ства тех точек из е, где е разрежено, т. е. полярных тонко изолированных точек множества е (см. пред­ ложение V . 10).

Напомним, что функция Ry (ср е Ф) не изменяется при замене е на ё или на множество е', отличающееся от е лишь на полярное множество. Теорема V I I . 6 позволяет получить дальнейшие результаты подобного типа. Пусть, например, тонко замкнутое множество а содержит е с точностью до полярного множества.

Положим e' =

ef|a

и допустим, что а =э е'.

Тогда

а =3 ё'

Bg' =

Be' =

Be.

 

 

Выделим следующее

 

 

П р е д л о ж е н и е

ѴЦ. 8. База Ве— это наименьшее

тонко

замкнутое множество, содержащее е с точно­

стью до полярного множества. Далее, Bs— Вве=

Bexzë

и Ве есть мнооюество класса

С й; очевидно, Be cz ё (где

ё — замыкание множества

е в исходной топологии).

П р е д л о ж е н и е

V II. 9.

Всякое В е можно охарак­

теризовать как множество Е , неразряженное в каждой точке из Ё и разреженное в каждой точке из С Е .

Такие множества также будем называть базами. Заметим, что ё и Ве имеют одну и ту же тонкую

внутренность.

 

Представляет интерес также

понятие ядра Д е мно­

жества е,

которое определяется как С В с е■ Это — наи­

большее

тонко открытое множество, содержащееся

в е с точностью до полярного

множества (оно совпа­

дает с объединением, тонкой внутренности множества е и полярного множества тех точек из Се, в которых Се разрежено).

Напоминание: (тонкая внутренность множества e)cz а К е с (тонкая внутренность множества В е или ё);

!) Тонкая предельная точка множества е — это точка, каждая тонкая окрестность которой содержит точку из е, отличную от нее самой.

 

Гл. VII. Классическая тонкая топология

 

75

(тонкая граница множества Ве) cz (тонкая граница

множества е).

 

 

 

 

 

4.

Основные применения. Л е м м а

V II.

10.

Пусть

{ej — семейство тонко замкнутых

множеств.

Тогда

существует счетное подсемейство

{еіп},

такое,

что

Вг\е1п =

Bnef

 

 

 

 

 

Доказательство. В самом деле, воспользовавшись

функцией U из теоремы V II. 6,

получим для любого е -

 

Be = {лг, и =

и ) .

 

 

 

 

Применяя топологическую лемму Шоке (см. Брело [25], гл. 1), видим, что для некоторого счетного подсе­ мейства {еіп}

 

 

 

 

 

 

 

 

V«.

 

 

 

Далее,

имеем

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

п е,

< i(if

 

 

 

d u '1=

 

ei

 

S$u

 

 

 

inf SSи 1

откуда

 

П ei

el

V/.

Поэтому

B ne. cz B e.c :e t

S&u '

 

(последнее

множество

тонко

замкнуто)

lll

1

и,

значит,

ВПе.

czflen

Беря базу

от

обеих

частей,

получим

В пе.

<zz ВПе,,

откуда

и

следует идентичность обоих

Ifl

 

 

t

 

 

 

 

 

 

 

 

множеств.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

П р е д л о ж е н и е

V II.

10.

Пересечение

(соотв.

объединение)

тонко

замкнутых (соотв. тонко откры­

тых) множеств с точностью до полярного множества совпадает с пересечением (объединением) некоторого счетного подсемейства данных множеств.

Это — частный случай общих результатов Дуба [8].

П р е д л о ж е н и е V II. 11. Для любого семейства тонко полунепрерывных сверху функций іц существует счетное подсемейство іц , такое, что inf щ = inf ui квазивсюду.

Смотрите также файлы