Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Доказательство. Для любого рационального г выберем последовательность щ так, чтобы

(inf иір^ г] = (inf Ui ^ г}

с точностью до полярного множества. Объединение всех функций этих последовательностей для различ­ ных г дает семейство щ , удовлетворяющее написан­

ному равенству для всех рациональных г вне неко­ торого полярного множества а. Для любой точки х, в которой inf iii < inf Ui , рассмотрим рациональное г,

іп п

заключенное строго между этими числами, и найдем, что X е а.

Т е о р е м а V II. 12 (Гетур1))- Если мера р не на­ гружает полярных множеств (т. е. внешняя мера любого такого множества есть нуль), то существует наименьший тонко замкнутый носитель Е меры р, являющийся базой.

Доказательство. Всякое тонко замкнутое множество есть сумма базы и полярного множества и потому р-измеримо. Пусть (ег) — множество тонко замкнутых носителей. Для некоторого счетного подсемейства (e*nJ

зом, ВГХе{ есть наименьший тонко замкнутый носитель меры р.

П р и м е н е н и е к з а д а ч е Д и р и х л е . Т е о р е м а

V II. 13. Для открытого мнозісества со (соотв. для ком­ пактного множества Д) (в пространстве Грина Q) точка х0 из дсо[)£2 (соотв. из дД) будет иррегулярной

‘) См. Гетур и Шоке [7], Дуб [8], Брело [30].

Гл. V III. П рименения к выметанию, весам и емкостям TI

(соотв. неустойчивой) в том и только в том случае, когда Ссо {соотв. С К) разрежено в ,ѵ0').

Доказательство. Регулярность и неразреженность

множества Ссо эквивалентны условию РоИП0(л'о) = ѵ (Л'о) для какого-нибудь одного о и для любого конечного непрерывного потенциала ѵ (гл. VI, п. 11, b'), и теорема V II. 5). Устойчивость и неразреженность мно­

жества С К эквивалентны условию R^K (*о) — ѵ (хо) для любого V (гл. V I, п. II, Ъ", и теорема V II. 5).

Далее мы получим другие критерии тождествен­ ности регулярности и неразреженности (гл. IX).

Глава VIII

П РИ М ЕН ЕН И Я К ВЫ М ЕТАН И Ю , В ЕСА М И ЕМ КОСТЯМ

I. Мы по-прежнему рассматриваем пространство Грина. Обратимся снова к классической теории и

получаем (см. гл. V I, п. 12) 3fä(x)= J $ЬХ (у) dp. {у).

•) Этим общим критерием иррегулярности и неустойчивости и подсказано введение понятия разреженности (см. Брело [4]).

место равенство ЬЦ (С В е) = О.

Доказательство. Это — следствие интегрируемости мер для частного случая меры Дирака (см. гл. V I, п. 12 ¥)). Рассмотрим такую меру гх и воспользуемся снова потенциалом U из теоремы V II. 6. Получим

(х) = I U dblx и после итерации <Меи (я) = J <Йеи dbi .

Следовательно, множество, где U > @ц, совпадающее с С Ве, имеет bf -меру нуль.

равным и квазивсюду на е и, следовательно, равным и на Ве•; согласно лемме V III. 1, ь — $%. Следовательно,

ной форме1)). Пусть и — потенциал меры р, а ѵ — не­ отрицательная супергармоническая функция, кото­

') Более сильной, чем аналогичный принцип у Картана [2].