Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

З а м е ч а н и е . В частности, мы можем предполо­ жить, что функция и локально ограничена. Отсюда будет следовать, что ц не нагружает полярных мно­ жеств и, значит, не нагружает множества иррегуляр­ ных точек границы со.

Т е о р е м а V III. 6. Для всякого открытого множе­ ства ш е й множество тех его граничных точек, в ко­ торых со разрежено, имеет гармоническую меру нуль ').

Эта теорема содержится в работах Валле-Пуссена.

Ни* = Ни', и U = 11' на öco П й почти всюду по гар­ монической мере.

множество тех точек, в которых и = X, имеет тонкую внутренность р-меры нуль, где ц — мера, ассоции­ рованная с и.

Доказательство. Достаточно доказать утверждение леммы для пересечения нашего множества с открытым относительно компактным множеством т, и далее для

’ ) Так как ftp“ есть гармоническая мера со в х (гл. VI, п. 10),

то этот результат содержится в приводимой далее теореме VIII. 8 (однако ои используется при ее доказательстве, точнее, при доказательстве леммы VIII. 7).

Гл. V III. Применения к выметанию, весам и емкостям 81

к нулю в точке Александрова, и достаточно показать, что множество е, где и = Я = sup и имеет тонкую

О

внутренность р-меры нуль. Но открытое множество а, где и > Я — е, относительно компактно в ß, и и = Я— е на да, за возможным исключением множества точек, где а разрежено. Так как это множество имеет гармоническую меру нуль в а, то отсюда следует,

что H u = R <ua равно Я — е в а. Следовательно, Rue — h

Если множество а полярно и cz Ве или если а — тон­ кая внутренность множества Ве, то а имеет нулевую

внешнюю Ь^-меру.

Доказательство. В первом случае (когда а полярно) мы можем, расширив множество а, считать его борелевским. Достаточно рассмотреть случай, когда а компактно, а р = е(, х ^ В е. Тогда функция Gx будет

ограниченной на а, то же справедливо для и поэтому соответствующая мера будет на а равна

Q \ [х] и супергармонической функции $а (у) — Gx (у). Эта функция равна нулю на Ве\ следовательно, у Ве тонкая внутренность имеет нулевую üf -меру.

3. Приложения. Т е о р е м а V III. 9. Если и — не­ отрицательная супергармоническая функция, то функ­

ция $ еи (которая равна и на В е) зависит на С Ве

только от значений и на тонкой границе множества Ве.

Следовательно, на тонком замыкании множе­ ства С е определяется лишь значениями и на тонкой границе множества е.

Доказательство. Будем исходить из формулы

W = ) и (у) dbix {у). Первое утверждение очевидно.

или на тонкой внутренности множества А меры, соответствующие иЛ и и2, совпадают.

Действительно, так как и{ = и2 на (тонко замкну­ том) множестве А , то это справедливо на тонкой

Поэтому мы получаем требуемое равенство квази­

зали, дает искомый результат для мер. В общем

Частично это следствие содержится в следующем результате (представляющем собой уточнение теоремы

нечны и в точках которого тонко открытое мнооюество а = {х I Ui < гг2] разрежено. Тогда на А а мера ц,, ассоциированная с и2, маокорирует меру р.(, ассо­ циированную с «[.

Гл..-V U l. Применения к выметанию, весам и емкостям 83

Доказательство. Как и выше, можно свести дока­ зательство к случаю потенциалов ии и,. Рассмотрим

функции SS?h, которым соответствуют меры, равные Ці, ц2 на множестве А 0 (содержащемся в тонкой

h — наибольшая гармоническая миноранта для и2 в со;

образом в компонентах множества со, имеет ассоцииро­ ванную меру, равную ц2 на К с точностью до меры общей массы < е (отметим, что полярное множество точек разреженности К имеет нулевые р,[- и ц2-меры). Разложив и'\ на со в сумму потенциала и'( и гармони­

—+ (^ф)ш- Следовательно, соответствующая

мера на К мажорируется мерой ц, с точностью до меры

и — гармоническая функция.

Т е о р е м а V III. 11. Если и — неотрицательная гар­ моническая функция, то мера, соответствующая Д)еи, сосредоточена на тонкой границе множества Ве {и, следовательно, множества е).

Доказательство; Прежде всего, в соответствии с последним следствием (или теоремой 10) функции и

и 5Эи, равные между собой на Ве, имеют одинаковые