Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл (7,03Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 112

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

162 Ч, 2. Граничные теории и минимальная разрейкенность

Наконец, множество Л! \ {Я], очевидно, разрежено (так как индуцированная на Д, топология дискретна), и можно убедиться, чт оно строго разрежено, ис пользуя множество Е из леммы 2 и отвечающую ему меру ц0, построенную в предыдущем абзаце. Инте

грал J	К ' (х, у) Фо (у),		который стремится к -j- оо
(в топологии £Гт)		в точке X по Е,		будет стремиться
к -Ь оо	также и	по	Л[ \ (X} в силу следствия		тео
ремы XV. 6.
Что	касается	неразреженностп,		то заметим,	что

достаточно убедиться в строгой неразреженности мно жества Е czQ, при условии, что оно неразрежено в X .

Будем обозначать через R% приведенные функции относительно Ф, в пространстве Q(JAiЛюбая функ

ция	К е Ф \| ,		мажорирующая			1	на Е \ б (где б — от
крытая окрестность				точки X			в Q,	у 0 ф б),	на Q не
меньше,		чем отношение			R ^ 6/G 'o,			которое	на 6(1 Q
					У о	'
равно R a ^ 6(yo)IGx {i/0) =					j R(x,		y ) d b f ^ 6(y).		Далее,
V (X)	не	меньше,		чем			inf	этого выражения,
т. е.	чем	I К ( Х , у) d b ^ ü(y)				(теорема X V . 6,			следст
вие).	Эта	же	оценка верна			для R\'K6(X).			Поэтому

достаточно установить, что sup | К ( Х , у) dbe,/6(у) — 1

(см. гл. II, п. 4) или же что Rf^ ö* (yQ)

(у0) для

некоторых б„ (П = {X}). Но это предельное соот ношение хорошо известно (см. гл. V I, п. 10).

4.Приведенные функции. Минимальные и неми

нимальные точки.	Л е м м а	XV. 10. Если функция ѵ,
неотрицательная	и супергармоническая на Q, допу
скает представление ѵ ( у ) =		J R ' (х, у) dpB(х) (где рѵ—
неотрицательная мера на Q,		сосредоточенная на Q (J At)
и е czQ,, то

Ra (z) = J R n' ' (X, у) (z) d [lv (x ) ,

Гл.

X V .

Пространство Мартина и разреженность

163

Доказательство. Известно (гл.

VI),

что R v{z)e

—

— j

v(y)dbiz (y). Следовательно,

Reu (z) равно

J (

JК ' (X,

y) dblz (//)) d\iv(x),

или

R Ke - ( X i (2 ) dpv {x).

Т е о р е м а XV . 11.

(Наим [1].) Если функция u^

гармонична и Е сг Q,

то условие Rft = и эквивалентно

тому, что борелевское множество

<%Е точек из Д,,

где Е разрежено, имеет \хи-меру нуль.

Доказательствоч')* . Допустим,

что

р„ (ІГ£) =

Так как

Ни (у) = {

Rkx (у ) dpu (X)

и R eKx =

Кх

(V * ф & Е),

то мы получаем

Ш іу) =

Кх (ѵ) d\iu(X ) = и (у).

Теперь предположим,

что

R u =

Введем счетный

базис (б;)

регулярных

областей

в Q; в любой точке

• Ѵе Д , ,

которой Е

разрежено,

имеем неравенство

Нк х (у ) < К х (у ) Для

некоторой

точки у

в одной

из

областей

б,-.

Следовательно,

RcKxdf,l‘ < K x (!l)

(Ѵ !/еб ,).

Иными словами, <gE содержится в счетном объеди нении множеств а;, удовлетворяющих предыдущему ■ неравенству для всех X . Покажем, что аг имеет нуле вую пи-меру. Поскольку мы имеем дело с борелевскими функциями,

=	Ш	R Kx(x)dpu(X))d9l4x)E	=
=	!	R u М dp^ix) = I U dp6J (х) = и (у) (уу <= бг).

') Мы следуем доказательству Гаурнсанкарана [1], который уточнил также описание множества <§с

164 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Следовательно,

j K w - j я£,‘'р;,]‘'м*)“ 0,

откуда ц„(аг) =	0.
З а м е ч а н и	е . Множество &Е является пересече

нием Л| с множеством типа Ка из Л.

Мы приведем доказательство, отличное от перво начального доказательства Гаурисанкарана. Прежде

всего Rkx (Уо) — J Кх dbeya. Далее, <£Е есть пересече

ние Лі с объединением множеств /7П= | ^ ^ ал(г/0) < і|

из Д (здесь Q„ f , Q„ er cz Q, \|J	= Й).	Каждое Fn
есть объединение множеств	(Kj) ^ 1	—- p” 1} для

всех натуральных р. Наконец, каждое из этих мно жеств есть пересечение множеств | ^ ^ 1іл+<гЧ 9’п'>(У0) ^ < П — р-1} для всех натуральных q. Последние же множества компактны в Д.

С л е д с т в и е .	Для любых	неотрицательных гар
монических функций и и множества Е с			Й имеем
R U^E	\ K x dix'u + j	Rxx dp",	(3)

где ц ', р" — суокения меры ра на Д, \ $ Е и <SE соот ветственно. Первый член есть наибольшая гармони

ческая миноранта для			RE, а второй	является потен
циалом.
В самом	деле,	X е	Ді \ $£=#> Rkx = Кх, откуда
и получается искомое разложение.
Далее,	пусть	и' положительна,		гармонична и

Ru. Тогда и' — Ru\ Действительно, в противном случае, существует супергармоническая функция ѵ, которая ^ и' на Е и < и' в некоторой точке х; рас смотрим супергармоническую функцию ш, которая ^zu

на Е и достаточно близка к Ru в х. Функция v-j-w— и'

неотрицательна

Ru ^ u ') , ^ u на Е , но <

	Гл.	X V . Пространство Мартина и разреженность									165
в точке X.			Поэтому		мы заключаем,			что pu,			= О,
и так	как		эта	мера ^			то	^	ц'	и,	значит,
и ' < . І К х і К -
О п р е д е л е н и е					X V .12.		Неотрицательная				гармо
ническая		в	Q	функция		и	называется		привязанной
к нулю в точке X е					А, если существует такая окрест
ность	б	точки		X в	пространстве Q,				что	u =	Ru6na
на б Г)	П.	В этом случае то же самое верно								для любой
окрестности			6' сг б.
П р е д л о ж е н и е					XV.	13.	Если	неотрицательная

гармоническая функция и привязана к нулю в любой точке множества соЛАі, где ® — открытое подмноже ство пространства Q, то для ассоциированной меры р.„

имеем рц(соПАі) = 0- Обратно,		из	этого	равенства
следует, что и привязана	к нулю		в каждой точке
множества со Л А.
Доказательство. Для	любой	точки		Х 0е А і Л ®


можно найти в Q				открытое множество coj cz со, являю
щееся		окрестностью точки Х а и такое,						что R?,ainQ = u
на	а, Л П, а следовательно, и на Q							(поскольку это
равенство имеет место квазивсюду на Ccüj).									Так как
Соц	разрежено в			каждой		точке	множества ю, Л Дц
то р„ (со, Л Ді) =			0.	Используя счетное				покрытие мно
жества		со Л Ді,	мы		заключаем,		что	цц (со Л Аі) = 0.
Обратное, утверждение доказывается легко.
В качестве непосредственного следствия получается
Т е о р е м а			X V . 14.		Положительная гармоническая
функция и на Q будет минимальной в том									и только
в том случае, когда она привязана к нулю									во всех
точках мнозкества X е					Д,, кроме одной (или же во всех
точках А'і=Д, кроме одной минимальной).
Следовательно:
Всякая неотрицательная						гармоническая			функция,

привязанная к нулю во всех точках множества Д, кроме одной точки Х 0, либо пропорциональна Кх„, либо равна нулю в случае, когда точка Х 0 не мини мальна .

166 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Это — принцип положительных особенностей, вос ходящий к Булигану [1]. См. Дени [1] и Брело [12].

Х а р а к т е р и з а ц и я н е м и н и м а л ь н ы х т о ч е к

м н о ж е с т в а	А.	П р е д л о ж е н и е XV.	15. Для того
чтобы точка X	е	А была неминимальна,	необходимо

и достаточно, чтобы выполнялось любое из следующих

условий:
а)	Существует	такая	окрестность б точки			I s A
в Q,	что Якп’л Ф Кх .
Ь)	А			0 на й,	что
	Существует такая мера ц ^			0 на й,	что
					(У)		(4)
Доказательство.		Утверждение		насчет	а)	близко
к предыдущей теореме.
Что касается условия			Ь), то	формула	(2)		сразу

показывает, что из него следует неминимальность точки X . Далее, если точка X неминимальна, то мы


можем				использовать открытую				окрестность б из а),
и	соображения,					приведенные в		начале		доказатель
ства		теоремы			X V . 6,		дают меру, удовлетворяющую
условию Ь).
	З а м е ч а н и е .					Рассмотрим		на	пространстве		Q
(с	топологией				£Гт ) конус функций Ф, определенный
в	теореме X V . 7.					В	соответствующей		тонкой тополо
гии		Q		будет	строго		неразреженным		в любой точке
X е А, (в силу теоремы XV . 9). Далее, Q										строго раз
режено				в любой точке ^ е Д \ Д \| . Разреженность вы
текает				из Ь),	а строгая разреженность доказывается
так же,				как в теореме X V . 9.
	У п р а ж н е н и я .						1) В указанной тонкой топологии
множество А \					А!	открыто, а любое подмножество в Д)
замкнуто.
	2)		Минимальная				тонкая топология на Q U Aj				ин
дуцируется топологией на Q, в которой										для всякой
точки			X е А,		базис окрестностей состоит из множе
ств		фильтра				с	добавленной	к	ним	точкой	X ,
а	для			всякой	точки		X е А \ Ді окрестностями явля
ются		окрестности				в топологии СГЧ,

Смотрите также файлы

Бро, Г. Г. Методика анализа и прогнозирования производительности труда.pdf

Бызова, Н. Л. Рассеяние примеси в пограничном слое атмосферы.pdf

Вагоны-рестораны и купе-буфеты..pdf

Вопросы природных ресурсов сборник трудов..pdf

Гвахария, В. К. Испарение с водной поверхности водоемов Кавказа.pdf

Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно