Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 106

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Гл. X V . Пространство Мартина и разреженность

167

5.Статистическая разреженность и свойство

Шоке. (См. Брело

[27].) Т е о р е м а

X V . 16. Пусть

даны

множества е с : £2, а с: А,

и положительная гар­

моническая на Q функция h

с ассоциированной ме­

рой

рЛ, сосредоточенной на Дг Тогда

h-статистиче-

ская

разреженность

на а

(с т а т и с т и ч е с к о е

св о й с т в о ):

еразрежено на а всюду, за исключением множества нулевой у,'-меры

эквивалентна тому, что для окрестностей со множе­ ства а в пространстве Q семейство (со fie) является

h-исчезающим, т. е. inf/?“ ne = 0.

Тот же результат

верен для тонких окрестностей а

в Q (J ^ і •

Доказательство. Пусть имеет место статистиче­ ское свойство. Разложим а на множество сс0, где е неразрежено, и множество а,, где е разрежено. Так

как |xft(<z0) = 0, то D^an = О 1). Далее, существует по­

ложительная супергармоническая функция ѵ, такая,

что

П т inf (v/h) ^

1

на

а0

и

ѵ (у0) < е.

В таком слу­

чае

v /h> 1— е

на открытом

множестве

со0, являю­

щемся пересечением

Й

с

множеством

со,

открытым

в й и содержащим а0. Таким образом, ѵ/{1— е)^/г

на соо и R tna (уо) < е/(1 — е). Что касается аь то за­ метим, что множество, где е разрежено, есть пере­ сечение множества А! с подмножеством типа К а в Ді (см. теорему X V . 11, замечание). Поэтому достаточно проверить свойство /г-исчезания для произвольного компактного множества ß точек из Д \ Д[. Рассмотрим

открытое в й множество со тэ ß, такое, что

p ( ö f ) A ) < p(ß) + e

(замыкание берется

в й), и возрастающую последо­

вательность компактов К п,

Тогда наибольшая

') Обозначение

вводится

ниже в гл. X V I, и. 1 ,—

Прим, перев.

І68 Ч , 2. Граничные теории и минимальная разреженность

гармоническая миноранта для І?дПш есть 1ітІ?лП“ пс/’с«,

или J К х d\ah, где Е — подмножество в А,, на кото-

Е

ром ef|w разрежено (следствие теоремы XV . 11). Тач-

ким образом,

(//о) —> р (А"). Но Е cz 0 \ ß, и

поэтому р (Е) <

е, откуда и следует искомое свой­

ство Л-исчезания.

Для доказательства обратного утверждения рас­

смотрим тонкую

окрестность со множества а,'такую,

что ДлП“ (уо)< s . Наибольшая гармоническая мино­

ранта этой

функции

есть

 

1{х с/рЛ,

где Е

то же, что

и выше. Но

а0 с: Е ,

 

Е

 

 

 

так чтоJ

 

 

 

и, следовательноJ

, р

J 41л<ДлП“(Д))<е

 

 

Go

 

Е

 

 

 

 

 

 

 

/1(а0) =

0.

 

 

Д о п о л н е н и я

и у к а з а н и я .

1)

Статистиче­

ское свойство эквивалентно существованию положи­ тельной супергармонической функции U , такой, что

U/h-+oo

на af|ë (или тому же

самому в тонкой то­

пологии).

 

 

 

 

 

 

2)

Функцию h можно заменить положительной

супергармонической функцией

V,

пользуясь

ассоци­

ированной

с V

мерой рк, которая на А равна рЛ,

где

h — наибольшая

гармоническая

 

миноранта

для

V.

3)

Сравнение полученных результатов с резуль­

татами для пространства Q (гл. VII) позволяет

прийти

к

следующему выводу.

Пусть a c r Q U A i ,

e c Q

 

и

V — положительная

супергармоническая

функция. Тогда аналогичное статистическое свойство с исключительным Ѵ-полярным множеством (т. е. V- статистическая разреженность) эквивалентно У-исче- з-анию семейства {со Л е} (где со — окрестность мно­

жества а в Q или в тонкой топологии), а также существованию супергармонической функции 1 /^ 0 , такой, что отношение {U/V) \е (там, где оно имеет

Гл. X V . Пространство Мартина и разреженность

169

смысл) стремится к + 00 в точках множества

af|<?

(соответственно в точках множества af\ë в случае тонкой сходимости).

С в о й с т в о Ш о к е . В общей теории (гл. IV) можно было бы назвать свойством Шоке множества е и веса р(е) существование для произвольного е > 0

замкнутого множества е' czë, такого, что р ( ё \

е') < е.

У п р а ж н е н и е . В

изложенной

выше классиче­

ской теории обозначим

через

нижнюю

огибаю­

щую множества неотрицательных гипергармониче­

ских

функций, которые мажорируют функцию <р^0

на множествах е 0 й и й f]

где ш — некоторая окре­

стность множества е в й.

Тогда вес J #*е

(где

— гармоническая мера в 6 для точки у0е

б) обла­

дает

свойством Шоке

для

любого

множества е сг

е й

U Дь Для

которого

множество

ef|Ai

является

^-измеримым

(здесь V — некоторая положительная

супергармоническая функция).

 

 

6.

Случай

шара

или полупространства в R".

В этих случаях пространство Мартина совпадает

с евклидовым

замыканием рассматриваемой области.

Как

показала

Наим

[1], оказывается возможным и

интересным уточнить предыдущий анализ и дать, например, критерий разреженности, аналогичный классическому критерию Винера.

Более подробное непосредственное изучение слу­ чая полупространства было предпринято раньше Ле- лон-Феран [1]. Однако ее определения (например, определение разреженности с помощью критерия типа Винера) и методы не приспособлены для слу­ чая общего пространства Мартина и поэтому здесь не рассматриваются (см., впрочем, гл. XVII). Было бы полезно углубить эти результаты и установить их связь с общей теорией.

Дополнительные сведения по тематике этой главы (например, о подпространствах) можно найти у Мар­ тина [1], Брело [12], Наим [1] и в более поздник аксиоматических исследованиях.

170 V. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Глава XVI

К Л А ССИ Ч ЕСК А Я ГРА Н И Ц А М АРТИ Н А П РО БЛ ЕМ А Д И Р И Х Л Е И П О В Е Д Е Н И Е НА ГРА Н И Ц Е

1.

Общая задача Дирихле. (См.

Брело [17].) Рас­

смотрим пространство Грина

Й, плотное^ в некотором

компактном метризуемом пространстве Q (с границей

А = й \ й) и фиксированную

положительную гармо­

ническую функцию h на й.

 

 

Л е м м а

X V I. 1.

Если функция ѵ супергармонична

в Q и для всех Х е

Д удовлетворяется условиё

 

 

Urn

inf V

( у ) > Я

 

 

 

(/<=Q, у

А"<= Д ІІ(У)

 

(в топологии пространства й), то vjh^% .

Доказательство.

Молено,

конечно,

считать, что

Я > — оо. Если лемма

не верна, то vjh после полу­

непрерывного снизу продолжения на й

будет дости­

гать

своего

минимума

k < Я

на Q. Функция ѵ — kh

"неотрицательна и супергармонична в Q и равна нулю

в некоторой

точке;

следовательно, она есть нуль и

vjh =

k < Я.

Получено

противоречие.

 

О б о б щ е н н ы е о г и б а ю щ и е . Пусть дана ве­ щественная функция f на А. Рассмотрим семейство Ф гипергармонических функций ѵ на й, удовлетворяю­ щих условиям

lim inf (vjh)

lim inf (v/h) >

— оо

(VX g

A).

Заметим,

что

второе условие эквивалентно

огра­

ниченности

снизу отношения v/h.

Нижняя отгибаю­

щая Dfik этого

семейства есть либо + оо,

либо — оо,

либо гармоническая функция (и, очевидно, возрастает

вместе с

/).

В случае / = сре (q?e — индикатор множе­

ства

е е й )

мы

эту

огибающую будем

обозначать

через

hß.

Если

he =

0, то множество е

называется

Смотрите также файлы