Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

означает “ всюду, за исключением й-пренебрежимого подмножества в Д“ . Отметим, что D fJl не меняется при изменении f на й-пренебрежимом множестве. По­

равны и конечны (и, значит, гармоничны), то функ­ ция f называется h-разрешимой, а эта общая огибаю­ щая обозначается через D ^ h (гармоническое решение

при линейных операциях и переходе к пределу по

и стремится к Dnmfn,h.

Доказательство такое же, как в классическом слу­

(где ѵ[[ — однозначно определенная мера Радона на А)

следовало бы назвать решением задачи Дирихле для h - г а р м о - н и ч е с к и х ф у н к ц и й (отношений гармонических функций к h) при заданной граничной функции f .

172 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Следовательно, /ге(у) есть внешняя ѵ!(-мера множе­

ства е. Далее, h-разрешнмость функции f эквива­ лентна ее ^-интегрируемости (это условие не зави­

последовательность (а„) открытых окрестностей мно­

= inf hy, где у пробегает множество всех окрестностей

Y

множества е в Й, введем убывающую последователь­

==Левая часть стремится к ЯмПР' *2), а inf

ае

равен (he)e, откуда и вытекает требуемое равенство.

Много дополнений и дальнейших результатов можно найти у Брело [16] и Наим [1]. Исследуются роль условия А/,, случай переменных функции h и области Q в заданном пространстве Грина, различ­ ные типы компактификации, т. е. различные границы, поведение функций вблизи этих границ и т. д. Упо­ мянем некоторые из результатов. Без предположения о том, что выполнено условие Ал, отображение ен-5-/г(е) для компактных множеств е является ем­ костью Шоке (и даже альтернирующей бесконечного порядка); эта емкость аддитивна (т. е. определяет меру с соответствующей внешней мерой, равной he для любого е) в том и только в том случае, когда имеет место условие А,ѵ При условии Ал базис фильтра g, сходящийся к Г е Д , называется Іг-регу- лярным, если для всякой конечной непрерывной

жить определением /г-регулярности базиса фильтра $

обобщены некоторые классические результаты, отно­

часть мажорирует ѵ на ß и, следовательно, мажорирует правую часть (тот же результат вереи для любых множеств ß crß").

2) В силу общей формулы (8) гл. VI, стр. 67.

174 Ч. 2. Гранччные теории и минимальная разреженность

трим величину 3?% (х), равную lim inf в точке X от­ ношения ирг, где и — супергармоническая функция и м//г ограничено снизу. Если точка X является /z-регулярной, то

для любого Л-пренебрежимого множества Е. Однако неизвестно, будет ли множество /г-иррегулярных гра­ ничных точек /г-пренебрежнмым.

Упомянем еще, что в связи с общей теорией за­ дачи Дирихле изучались метризуемые, полные, но, вообще говоря, некомпактные пространства и соот­ ветствующие им границы, причем граничные условия выражались с помощью фильтров. Интересные при­ меры получаются при пополнении по метрике, совме­ стимой с топологией й, с помощью базисов фильт­ ров, определяемых концами некоторых линий, напри­ мер линий Грина (Брело н Шоке [1],- Брело [15], Оцука, Арсоув и Джонсон).

2. Основной случай: пространство Мартина й . Далее будем предполагать, что й = й (см. Брело [17]).

Доказательство. Для любой открытой окрестно"

сти а множества е в пространстве й множество аГ)й будет неразрежено в Х е е (лемма X V . 1). Следова­

тельно, $к)^ = К х (определение разреженности) и

{КХ)е = К Х.

Вслучае X ф е мы докажем даже немного больше,

ванием окрестности Е множества Л \ [X) в Q, такой, что Е (]й разрежено в X (лемма X V . 2). Тогда

мальная функция К х удовлетворяет условию {Кх)е — 0

he(У)= J К х (У) dH, (X) =.J фД-х dph

е

(где срг — характеристическая функция (индикатор) е). Если множество е борелевское (или даже только Неизмеримое), то, обозначая через не, сужение мерын,

на е, будем иметь

he (У) — J Кх dpeh(Х)\ he (у0) = J dp,.

е

Доказательство. Предположим сначала, что е ком­ пактно. Рассмотрим открытую окрестность а множе­

ства е в Ü. Тогда, согласно лемме X V . 10,

R f n(y) = J RKT(y)dlih(X).

Беря убывающую последовательность {art) таких мно­ жеств а с пересечением, равным е, убеждаемся, что

истремятся соответственно к 1ге и (Кх )е-

Следовательно,

открытого множества е рассмотрим возра­ стающую последовательность компактных еп с (J еп= е и получим ту же самую формулу. Для произволь­ ного е рассмотрим множество всех открытых окрест­