Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 102

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

176 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

множества /, и поэтому inf 1і/ есть соответствующая

/__

внешняя мера множества е, т. е. J ФеК х {у) dph{X).

Отметим,

что множество

Л \ Л, всегда Л-прене-

брежимо.

 

 

 

 

 

С л е д с т в и е .

Если

еи

во — непересекающиеся

борелевские множества в А,

то {he,)ej =

0.

Действительно,

(Лг,)^ (у0)

= J dp*-=

0.

 

 

 

 

S'!

 

Л е м м а

X V I. 8.

Если

е — борелевское (или даже

только неизмеримое) множество, то характеристи­ ческая функция фе этого множества Іг-разрешима.

Доказательство. Так

как (Ле)д\е =

0> то для лю­

бого е >

0 мы можем

найти такую открытую окрест­

ность

а

множества

А \

е

в

пространстве й,

что

Ш ^ а { У о ) < г- Далее, разность

Ііе —

 

0 и равна

нулю

на aflß;

эта — субгармоническая

функция в й,

которая

не превосходит

/ге =

Дре./,,

и

ее отношение

к h

стремится

к

нулю

в

каждой

точке множества

А \ е\ следовательно, она не превосходит £><ре,

Это

показывает, что

разность Дфе, /і — Аре, /, произвольно

мала в точке г/0;

следовательно, она равна нулю в у0

и, значит, всюду в й.

 

 

 

 

 

 

 

Т е о р е м а

X V I .9

(для

пространства Мартина).

Всякая конечная непрерывная функция ф на А является h-разрешимой, и мера dv,Jh из общей теории

равна в рассматриваемом случае K x {y)d\ih(X).

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Действительно,

функцию ф

можно приблизить с точностью до

любого е > 0 ко­

нечной суммой функций

вида

(где

е; — боре­

левские множества, — вещественные числа), кото­ рая /г-разрешима. Сопоставление выражений для he(y), данных в теореме X V I. 3 и в лемме XVI. 7, приводит К искомому соотношению между vf и p,/fi

Гл. X V I. Классическая граница Мартина

177

Отметим, что /г-пренебрежимость множества рав­ носильна в рассматриваемом случае равенству нулю его рА-меры.

З а м е ч а н и е I.

Доказанный

результат

перво­

начально был получен

Брело [17]

с помощью

анало­

гичных, но более длинных рассуждений. А именно, вместо интегрального представления Мартина исполь­ зовалось одно более грубое элементарное предста­

вление. Оно приводит к

формуле Z ) f , А= J [ Ң х dv'ft,

где

мера

vf« сосредоточена на Ajj в частном случае

f =

1 эта

формула дает

D u А — h = J K x dyff, т. e.

представление Мартина.

 

 

З а м е ч а н и е 2. Лемма X V I. 4 наводит на мысль

рассмотреть последовательности функций ЛА(ПП (в Q) для убывающей последовательности множеств егс:£2; однако даже если все et открыты и f| П П = 0 > то inf Re,lna Ф hne . При выполнении условия П П П = 0

этот inf равен inf/гл., где А,- — множество точек из Ді,

в которых

П П неразрежено. Более

подробное и

более общее

исследование проведено

в

Брело [30].

У п р а ж н е н и е . Функции D fi/l (/^0 )

совпадают

с пределами возрастающих последовательностей не­ отрицательных гармонических функций, отношение которых к /г равномерно ограничено (Парро [1],

Брело [17]).

3.Другие характеризации огибающих (случай

Мартина).

Л е м м а X V I.

10 (принцип минимума)

(Наим [1]).

Пусть заданы

положительная гармони­

ческая функция h и супергармоническая функция и, такие, что и /Іг^ К (где постоянная К ^ . 0 ) . Пусть е — множество внутренней ун-меры нуль и для всякой

точки X е А, \ е существует

неразреженное в ней

множество Е х , такое, что

и (у)

 

lim inf

=0.

 

!/-»Х, y<s Ex AM

 

Тогда и ^ 0.

178 Ч. 7. Граничные теории и минимальная разреженность

Доказательство. Рассмотрим функцию «)=inf (и, 0) и допустим, что ui ^=0. У этой функции имеется наибольшая гармоническая миноранта u [ ^ K h . Мно­

жество Е е= {а: I Ui (х) ^ — е/г (х)}, совпадающее с мно­ жеством [х\иГ^ — е/г], содержит для каждой точки X е Д, \ е пересечение множества Е х с некоторой окрестностью точки X. Поэтому борелевское под­ множество в ДI, где Е й разрежено, является частью множества е и имеет нулевую цд-меру и нулевую

ц_,/-меру. Следовательно,

/ = — и', (теорема X V . 11).

Так как ы, — и[ +

ѵ (где ѵ — неотрицательный потен­

циал),

то

— гг] ^

е/г +

о

на Е Ё. Таким

образом,

ß

е/г +

V на

Q

для

произвольного е >

0, так что

R J ut ^

Ы1

Получено

противоречие.

 

гг] = 0.

 

Т е о р е м а X V I.

11 (Наим [1], Дуб [3]).

Для про­

извольной вещественной функции f на А рассмотрим гипергармонические функции и, для которых отно­ шение и/Іг, где /г — фиксированная гармоническая функция, ограничено снизу и удовлетворяет одному из следующих условий:

a)

Для

любой точки X ед Д, существует множе­

ство Е х‘ , неразреженное в X и такое, что

 

 

lim inf (u/h)^f{X) .

 

 

у ^ Е ^1 , у - * Х

b)

Тонкий lim inf (u/h) ~^f{X) в любой точке X е Д[.

c)

(Дуб)

Тонкий П т sup {и/h) ^ f (X) в любой точке

X €= Д].

 

Тогда низюняя огибающая множества таких функ­ ций и совпадает с D lth. Тот же результат верен, если

предположить лишь, что указанные условия выпол­ няются рІг-почти всюду.

Доказательство. В каждом из трех случаев рас­ сматриваемая огибающая, очевидно, ^ D fjlt, и нам

нужно получить противоположное неравенство. Так как отношение u/h ограничено снизу некоторой кон­ стантой X , то достаточно рассмотреть вместо f функ-

 

Гл. X V I.

Классическая граница Мартина

1

179

 

 

 

 

 

 

 

цию f/ =

sup(f, К),

поскольку

h.

Можем

считать

поэтому,

что / ограничена снизу, например,

неотрицательна.

Предположим, что

функция

D fift

конечна.

Тогда

существует функция c

p

v'-j- и ре­

интегрируемая

и

такая, что Ар, Л= Д^, Л и Ц ,_|:іЛ = О

(в случае, когда f

бесконечна, ср — / =

0). Это — свой­

ство верхнего интеграла. Отсюда следует,

что

мно­

жество,

где ср — f

>

е > 0, имеет внутреннюю рЛ-меру

нуль. Далее, если функция ѵ гипогармонична и удо­

влетворяет

условиям:

vjh

ограничено

сверху и

lim sup (v/fi)

в

любой точке

Л,,

то функ­

ция и — V

гипергармонична,

а (и — ѵ)//і

ограничено

снизу, и в случае

а) имеем

 

 

 

 

lim inf

-------—-----> 0

 

 

иЛ

У ® У ~ > Х

для всех Х е Д , ,

 

исключая множество нулевой вну­

тренней рЛ-меры.

 

Следовательно, и —

— е/г, иГ^ѵ

И

U

^

Д ф , Л

А р ,

h

Л’

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

В

случаях

Ь)

и с) и(у)//г(у) имеет предел f(X)

при

 

у —> Х

по

некоторому множеству Е'£, неразре­

женному в точке Т е Ді (в соответствии с интерпре­ тацией тонкой топологии на Ql JAn данной в теоре­ мах X V . 9 и III. 3). Следовательно, и — ѵ удовлетво­

ряет' тем же условиям, что и выше, с заменой Ех

•на Е'£, и мы заключаем, что

 

Если

D fth = + со,

то _мы

рассматриваем fn =

'

— inf (/,

я); тогда функция Df

* конечна и стремится

к Dfih при я > оо. Так

как

то ц > £ Д Л=

 

=

оо.

 

 

 

 

З а м е ч а н и е . В качестве следствия в случае с) получаем, что для положительной супергармонической

функции

V

множество точек на

A lt где тонкий

Um sup (v/h) =

+ оо /z-пренебрежимо

(прямое доказа­

тельство

см.

у Наим [2]),

 

Смотрите также файлы