Файл: Брело, М. О топологиях и границах в теории потенциала.pdf

180Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

4.Граничное поведение гармонических и супер­ гармонических функций. Глобальные результаты, получаемые с использованием (минимальной) тонкой топологии (случай Мартина). Успешное введение

минимальной тонкой топологии позволило Дубу по­ лучить результаты, аналогичные классической теореме Фату о некасательных граничных пределах, ограни­ ченных в круге гармонических функций, а также ее усилениям, принадлежащим Кальдерону, Стейну и др., с заменой упомянутых пределов тонкими пределами, причем для случая общего пространства Мартина.

Основой для этих исследований служит проведен­ ный выше анализ.

Т е о р е м а X V I. 12 (Дуб [3,4]). Если h — поло­ жительная гармоническая функция и функция f на А

Если и удовлетворяет условиям предыдущей теоремы

f рЛ-почти всюду. Тот же результат получается для — f, и мы заключаем, что тонкий lim inf (Dfih/Ii) рЛ-почти всюду.

З а м е ч а н и е . Другое доказательство, использую­ щее вместо теоремы X V I. 11 (случай с)) замечание, приведенное в конце п. 3, можно найти у Наим [2].

Т е о р е м а X V I. 13 (Наим [1]). Если ѵ — потенциал, а h — положительная гармоническая функция, то отношение v/h имеет ph-no4Tu всюду на А) тонкий предел, равный нулю.

Доказательство. Нам нужно показать, что множе­ ство точек X е А], где тонкий lim sup (v/h) > 0, /z-прене- брежимо. Докажем это для множества, где тонкий lim sup (v/h) > е > 0. Это множество содержится в мно­

окество 5 с Q і/ положительная гармоническая функ­ ция и, такая, что (б Л Д) = 0. Тогда и/Іг имеет ну­ левой тонкий предел рн-почти всюду на бПДі-

В самом деле, возьмем в Q открытое множество

60сгбос:6 . Так как множество точек Дь где б0ЛП неразрежено, содержится в 6|~]П и, значит, «-прене­

брежимо, то функция /?®пП2 является потенциалом (теорема X V . 11, следствие). Но на 60flß она совпа­ дает с и, откуда и следует искомый результат для б0, а значит, и для б.

Наим [1]). Всякая неотрицательная гармоническая функция и есть сумма некоторого решения D f<h

(с ^.^интегрируемой функцией /) и гармонической функции V, для которой inf (V, Іг) является потен­ циалом.

182 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

Доказательство. Мера р„ есть сумма меры f\ih

ции V, такой, что h и ѵ не имеют, кроме нуля,, ни­ какой общей неотрицательной гармонической мино­ ранты. Но это и означает, что inf (v, h) есть потен­ циал. (Другие доказательства без использования мер см. у Парро [і] и Наим [1].)

Л е м м а X V I. 15 (Наим [1]). Если и и h — поло­ жительные гармонические функции и inf (к, h) есть

Таким образом, она является потенциалом, и поэтому множество точек из Aj, где Е е неразрежено, имеет рл-меру нуль (теорема X V . 11, следствие). То же самое верно для множества точек, где тонкий lim sup (u/h)>0.

З а м е ч а н и е . Обратное утверждение также верно

(Наим [1]).

О с н о в н а я т е о р е м а X V I. 16 (Дуб [3, 4]). Если функция и положительна и супергармонична, a h по­ ложительна и гармонична, то отношение u/h имеет конечный тонкий предел рк-почти всюду на А^

Доказательство. В самом деле, и есть сумма не­ отрицательной гармонической функции ѵ и потенциала.

I f dv\ = D f h (у) < и (у).

Следовательно, интеграл конечен (и гармоничен), а так как функция f измерима, то она ^-интегри­

руема и, значит, разрешима. Таким образом, D fth су­ ществует и f конечна Цд-почти всюду.

c) Согласно теоремам Х Ѵ іЛ і и X V I. 12 и цд-почти всюду

(тонкий 1іт(«М) в Х ) ^ (тонкий lim (Dfiklh) ъ X) —

' = f(X) — (тонкий lim {и/h) в X ).

Итак, u/h имеет Цд-почти всюду конечный тонкий пре­ дел, равный /.

ние н//і имеет конечный тонкий предел Цд-почти всюду

произвольной супергармонической функции и, таких, что отношение н//г ограничено снизу в некоторой тон­ кой окрестности ■ каждой точки множества Лс г Д , , это отношение имеет конечный тонкий предел цй-почти всюду на А (Дуб [4]).

Д о п о л н е н и я , а) Дуб [6] изучал также гранич­ ное поведение B LD -функцнй, введенных в гл. IX. Он до­ казал для них существование тонкого предела Дц-почти всюду на Д „ а в случае гармонических функций и

184 Ч. 2. Граничные теории и минимальная разреженность

всюду) в том и только в том случае, когда и является функцией потенциального типа, т. е. пределом (почти всюду, а также по норме Дирихле) последователь­ ности BLD -функций класса С 0 с компактным носи­ телем. Дуб получил и другие результаты в этом на­ правлении. Обобщение исследований Дуба на случай /z-BLD-функций было дано Люме-Наим. .

ß) Гармоническая функция ѵ называется обобщен­

имеет почти всюду на Ді минимальный тонкий пре­ дел, то и обладает тем же свойством (см. Дуб [9], где этот результат приведен в несколько более общем виде).

5. Тонкая проблема Дирихле и различные типы регулярности. Даже в случае Мартина неизвестно, будет ли /z-пренебрежимым множество /г-иррегуляр- ных точек (которые были для более общего случая определены в п. 1). Однако для других вариантов задачи Дирихле это будет так при надлежащем опре­ делении регулярности. Рассмотрим функции и, удо­ влетворяющие условиям теоремы X V I. 11, случай Ь),

и их нижнюю сгибающую, равную D fih. Положим также Df'h— — Д -f,/, и для соответствующей тонкой

h-задачи Дирихле определим понятия и разрешимости так же, как выше. Однако понятие тонкой Іг-регуляр- ной точки X определим с помощью более слабого условия: Dfifl/h-+ f (X) (X е Д) в тонкой топологии

для произвольной конечной непрерывной на А функ­ ции f. Это определение немедленно приводит к же­ лаемому свойству множества тонких /г-иррегулярных точек.

В самом деле, рассмотрим счетное плотное мно­ жество {/,-) в пространстве вещественных конечных непрерывных функций / на Д (с топологией равно­ мерной сходимости). Если et — исключительное мно­ жество, отвечающее функции /г по теореме X V L 12,