Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Это решение является единственным и совпадает с реше­ нием для линейной системы. Это вытекает из указанного в § 2.2 общего свойства систем без прямых нелинейных свя­

зей (см. выражения (2.30) — (2.34)), к которым относится данная система. Величины (2.60) обращают первое из уравнений (2.59) в тождество.

Нижняя группа уравнений (2.59) с учетом (2.60) при­ нимает вид

Ненулевыми являются лишь коэффициенты aiU с раз­

личными числовыми индексами. Поэтому соотношения (2.61) сводятся к одному (остальные или выполняются тож­ дественно, или совпадают с данным соотношением):

а128-4ц “Ь a312^33 4" а213^-22 =

или в раскрытой форме:

Спектральные плотности S n , S 22, S 33 связаны со спект­ ральными плотностями S x, S v, Sz возмущающих моментов

относительно соответствующих осей соотношениями

Коэффициенты an , а22, а33 пропорциональны коэффициен­

там моментов демпфирования:

равновесного распределения в рассматриваемой системе

Это условие выполняется, в частности, тогда, когда спект­ ральные плотности возмущающих моментов пропорцио­ нальны (коэффициенты пропорциональности одинаковы) соответствующим коэффициентам моментов демпфирова­

ния:

т

Итак, распространенное представление о том, что нели­ нейным динамическим системам не свойственно нормаль­ ное распределение, не является вполне правильным. Су­ ществуют специальные условия, при выполнении которых имеют место нормальные стационарные распределения вероятностей как для свободного движения, так и для движения при действии шумов.

Для того чтобы равновесное распределение реализо­ валось в действительности, оно должно быть устойчивым или нейтральным (устойчивым не асимптотически). Ис­ следование устойчивости в малом равновесных распре­ делений производится на основе линейных уравнений, получающихся из (2.1 1 ) линеаризацией в окрестности рав­

новесных значений коэффициентов: ft

А Й ; Л — 2 ( а р А А р н 4 “ ® р л А Л р{) —

p = i

пп

2 2 а Р г к ^ А р — S S p q f i A A p q i k 4 " 2 Н p i i t ^ A q 4 "

Нахождение общих условий устойчивости тривиаль­ ного решения этой бесконечной системы линейных урав­ нений затруднено. Обычно приходится ограничиваться укороченной системой, в которой, начиная с некоторого значения N,

Условия устойчивости, найденные таким путем, носят характер приближенных.

Если рассматривать устойчивость нормального цент­ рального равновесного распределения и в (2.63) считать N = 3, то уравнения (2.62) принимают вид

П

*1

АЛ0 -----2~ 2л S p, M p4 ~

р.<?=1

пп

2 2 ®piftA^4p — 0) p=i

i, к — 1 , 2, . . . , n.

Устойчивость тривиального решения этой системы урав­ нений полностью определяется устойчивостью тривиаль­ ного решения второй группы уравнений.

Действительно, корни характеристического уравнения третьей группы (А р полагаем при записи этого характери­

стического уравнения равными нулю) равны попарным суммам Xt + Xj корней , . . ., Хп характеристического

уравнения второй группы. Это можно показать различны­ ми способами, в частности, на основе того, что при соот­ ветствующих ограничениях на начальные условия реше­ ние уравнений третьей группы (при ДЛР = 0) равно

произведению решений второй группы уравнений:

в этом случае обладает не асимптотической устойчивостью) сводятся к размещению корней уравнения

и согласно (2.65) условие устойчивости равновесного нор­ мального распределения сводится просто к условию ус­ тойчивости нулевого решения уравнений линейного при­ ближения.

X xixk . .. xs йхг . .. dxn. (2.67)

Они могут быть вычислены после определения коэффициен­ тов распределения А р, А Рд, . . . Для нормального рас­

пределения функциональная связь первых и вторых мо­ ментов с коэффициентами А р, А рд выражается в об­

щем виде.

Для распределений произвольного характера (пред­ ставленных степенным рядом) такая связь в общем явном виде не выражена и, вероятно, не может быть выражена.

Однако можно записать уравнения для моментов, в некоторых отношениях напоминающие уравнения для коэффициентов распределения. Решение этих уравнений в принципе позволяет найти моменты непосредственно, без предварительного определения распределения вероят­ ностей. Возможности практического использования этого способа будут обсуждены дальше.

Уравнения моментов могут быть получены различ­ ными способами. Так, для свободного движения системы

ПП

бесконечная линейная система уравнений моментов полу­ чается простой подстановкой выражений для производ­

ных Xi из (2.68) в тождество

(х гх к ' ' * x s) ~ x ix k •■ •x s “Ь ••* x ix k •••Х8

и применением операции вычисления математического ожидания [1.13], [2.8]. Рассматривая систему с шумами

получим уравнения моментов на основе ФПК-уравнения и понятия характеристической функции.

Как известно [2.6], [2.7], характеристической функцией

называется преобразование Фурье плотности вероятности

пользуется.) Частные производные характеристической