Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
§ 2.4] У Р А В Н Е Н И Я МОМЕНТОВ 73
Заметим также, что
оо П
^ ^ |
|
|
^ I |
dx3^ ... dxn = |
|
|
—оо |
]у ' |
' |
v = l |
* |
|
|
|
|
|
|
° W |
I K |
&• <2-72> |
Продифференцируем |
характеристическую |
функцию |
||||
(2.70) |
по времени: |
|
|
|
|
|
|
00 |
|
|
71 |
|
|
|
■JT = 5 • • |
• |
\ ж ехр (/ 2 |
• ■dxn, |
||
и заменим <Эр/д£ согласно ФПК-уравнению (2.1):
оо |
71 |
71 |
|
if = $•••$ 2 |
^ ехР[ i 2 ад) |
+ |
|
+ 4 - S - - - S |
2 ^ |
ехР (/ 2 а д ) ^ 1 - ^ п - (2-73) |
|
—оо |
v, 1^=1 |
|
|
Само определение характеристической функции предпола гает, что функция плотности вероятности удовлетворяет условиям Дирихле. Предполагаем также, что вели чины jd/ v стремятся к нулю при неограниченном удалении от центра фазового пространства. Выполняя преобразо вания (интегрируя по частям), из (2.73) получаем
-§f = |
— 2 |
• • • $^ |
ехр (у 2 |
а д ) dXi • • •dXn— |
|||
|
v = 1 |
—оо |
|
|
г=1 |
|
|
1 |
" |
с |
00 |
(• |
/ |
п |
\ |
-----Г |
2 |
\ |
• • |
• \ |
Р ехр [ / |
2 |
dx! ... dxn. (2.74) |
|
v, [-1-—1 |
|
—оо |
|
|
i^ l |
|
Учитывая, что
птг
1ч — 2 а ^ Ч + |
2 а ч\х1-х \>-х г + • • М |
ц=1 (А,е=1
80 |
Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я |
1ГЛ. П |
в соответствии с (2.72) находим
СО П
^• 5 p/v exp (;' 2 (°ixi) dx1 . . . d x n =
|
0=1 |
л |
|
|
n |
Q„ |
• |
n |
, |
.2 |
|||
v |
h . |
v |
|
|||
] |
2 i |
®V!J- ЙШ |
T |
J |
a vye ай)„Эй), |
|
|
P = 1 |
^ |
|
|
P, e = l |
upuu,e |
|
|
|
|
|||
|
|
|
-f f |
2 |
д*р^- ам^ао^аш- |
|
|
|
|
|
|
p ,e ,i: = i |
|
Учитывая это, уравнение (2.74) преобразуем к виду |
||||||
■|f +4гg 2 |
«Svpt'vv + 2 ®v(2o'vpш!г+ |
|||||
v ,lL= l |
|
|
У=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ / 2 a'<P' d(0|jdcoe |
2 |
|
®v;-■it!* |
aco^aw^o),. + •••) = 0. |
||
P, Е=1 |
|
|
P ,e,C -= l |
(2.75) |
||
|
|
|
|
|
|
|
Это уравнение в частных производных определяет харак теристическую функцию распределения, подобно тому как ФПК-уравнение определяет плотность вероятности. Уравнение (2.75) линейное. ,Порядок частных производ ных здесь соответствует порядку (степени) членов в раз ложении функций /. Для линейных систем порядок равен единице, а для систем с трансцендентными характеристи ками бесконечно высок.
Будем искать решение уравнения (2.75) в форме ряда
+ |
Т ,,2 , ( |
а » Д % г ) . w |
' + ••■ = |
|
п |
п |
|
= |
ёо + У2 |
^i®i + "Щ" 2 |
Mik^i^k + |
|
|
г, к=1 |
|
|
|
+ -щ* 2 |
+ • • • > (2.76) |
|
|
i, к, 1=1 |
|
■2.4] |
У Р А В Н Е Н И Я МОМЕНТОВ |
81 |
где g0 = 1. Предполагается, что ряд (2.76) и его произ
водные до второго порядка включительно сходятся во всей рассматриваемой области изменения (olt . • ., <впПодставляя (2.76) в уравнение (2.75), выполняя диффе ренцирование, собирая и приравнивая нулю коэффициен ты при одинаковых произведениях аргументов <в1? . . .
(оп, получаем следующую систему обыкновенных линей ных дифференциальных уравнений моментов:
п
~Ь2 ч
V = 1 |
V, р = 1 |
п
2 й \ ч ' х М ч\х Ч"
п
Ч~ 2 0 - г ч \ ц М + • • • =О,
V. Р , Е = 1
П
Мм -|- 2
v=l
{ Р г ч М ч к +^ к ч М ^ ) -f-
п
|
|
2 (^bp^vp/c +( 1 к ч \ х М ч\х%) |
+ |
|
|
|
п |
V, |Л =1 |
|
|
|
Ч~ |
(Oivpe^vptk -j- |
|
=S f k , |
|
|
2 |
4 \ x c i ) |
|
|||
У ,Р , £ = 1 |
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
M\ki |
2 |
(fluM-xui “H акчМч11 -j- a,vMviit) -j- |
|
||
|
v=l |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
4" |
2 (®;vp-Wvpki + а кч\хМ^хц + й ^ х М ч \Xjit) Ч~ |
(2.77) |
|||
n
h 2
V ,p = l
(a iv p t 4 /vpe4i Ч"a k'KiiM^xtil - | - a txxt M x ’xtik) H- •••=
— SikM t -f- SuM k + SklM it
A% ..? + |
2 |
(«iv^ £ ps + |
• .. + а^Мч^г) + |
"T f |
V—1 |
N |
~~rf |
|
П |
|
|
4~ 2 (д1ур-^^Р^-..з 4~ ••• Ч~ ®8УР^Пург...г) Ч~
v, р = 1 |
^ + 1 |
'IV +T |
82 Р Е Ш Е Н И Е Ф П К -У Р А В Н Е Н И Я [ГЛ. И
+ 2 ( ° j ? "b + flsvpe^v[i£i ...г) 4 " • • •
е = 1 |
ЛГ +2 |
N + 2 |
(2,77) |
•••= S ik M l, .. s |
Ч" •••4" |
N^-2 |
/V—2 |
В отличие от уравнений коэффициентов распределения, уравнения моментов (2.77) линейны как при отсутствии шумов, так и при их наличии. Однако структура системы уравнений здесь менее благоприятна для численного ин тегрирования. Даже для случая свободного движения не линейной системы здесь нельзя интегрировать группы урав нений последовательно и необходимо решать всю систему уравнений целиком. Вообще говоря, интегрированию для случая нелинейной исходной системы поддается лишь «укороченная» система уравнений типа системы (2.77), получающаяся из (2.77) отбрасыванием высших моментов, начиная с некоторого момента (N + 1 )-го по
рядка.
Не следует данный метод моментов противопоставлять развитому выше методу коэффициентов разложения. У них для нелинейных систем как бы разные области целе сообразного применения. Действительно, если рассеива ние в системе велико, отклонения большие, распределе ние приближается к равномерному, то ряд (2.8) сходится
быстро, а ряд (2.76) — медленно или даже расходится. Следует применять метод коэффициентов распределения. Если рассеивание невелико, отклонения малы, распреде ление плотности вероятности приближается к централь ному б-распределению, то ряд (2.76) сходится быстро, можно использовать укороченную систему уравнений типа (2.77) при невысоком максимальном N и метод мо
ментов здесь эффективен. В целом метод коэффициентов распределения (логарифмической плотности вероятности) обладает большей мощностью в сравнении с методом мо ментов, так как позволяет исследовать более сложные слу
чаи (большие отклонения, |
сильные нелинейности), |
а также, как уже отмечалось, |
обеспечивает наиболее пол |
ное статистическое описание в виде текущего многомер ного распределения.