Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 93

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

70

Р Е Ш Е Н И Е Ф П К -У Р А В Н Е Н И Я

СГЛ. II

П

 

Л

 

2

(я-р;.4 рк + аркЛPi) +

2 2 aPiJc-4 p +

 

p = i

П

p = i

 

 

 

 

 

+ 2 * ^ P 9 ( 3 - 4 pqilc +

2 A piliA q 4 " A p{A qit) =

 

P , 4 = 1

 

 

 

 

П

 

 

 

= — 6 2

а РРШ'

 

 

p = l

 

2 (aPi^ pm s "b • • • + a psA pik ••• r) +

p = i

 

2!

 

 

 

+

a PrsApiK .../) +

 

3~T"2 (a Pi/c4- Plm ...*+•••

 

;v —i

 

 

 

 

 

 

N-l

 

p = l

N- 1

 

 

 

 

 

• •• +

n

 

 

 

 

 

 

 

2 (aPilf ••• 7-4PS + • • • +

a PHl —a-4Pi) +

 

P=1

 

 

 

 

 

(2.54)

 

 

+

2 flPiifi

s"4p

+

 

 

 

 

p = l

N+l,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 -4 - 2

^ р Л ^ (^ + 1 )^ Р « ...а +

 

 

p, 4=1

 

 

 

 

JV+2

 

 

 

 

 

 

 

+

2N A p A q o c . . . s +

(-4 piA qxi ...s +

• • • +^4ps-4gik ...r) +

 

 

N+l

 

N

 

 

 

N

+

"jy"L_ i

(-4 рцсA

qi ... s +

• • • +

4. prs4

... /) +

 

 

 

'nhT'

 

 

 

 

iv-i

 

■• • +

(4 pjfc ... у4. Ps +

• ■• +

£ pfc; -s/4pi)] =

 

 

'—л?

’

 

 

 

i

f

— N (N “b 1) 2 aPPi(c s>

p = i

iV+2

J

§ 2.3J

СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

71

Эта система

уравнений может иметь множество решений,

каждое из которых соответствует равновесному распре­ делению. Некоторые из этих распределений могут быть устойчивыми, другие — неустойчивыми. Для исследо­ вания устойчивости по Ляпунову равновесного распре­ деления можно осуществлять линеаризацию исходных

уравнений

(2 .1 1 )

в окрестности значений,

являющихся

решением

системы

(2.54).

внимание на то,

что согласно

Прежде

всего обратим

(2.54) равномерное во всем фазовом пространстве равновес­ ное распределение А ; = А г к = А ш = . . . . = 0 при нали­

чии шумов (как и при отсутствии шумов) существует только

всистемах, для которых

ПП

2 арр ~ о,

2 ®ppi= о» ■•

p=i

p=i

в частности в системах без прямых связей. Для устойчи­ вости по Ляпунову этого распределения тривиальное решение линеаризованных уравнений

А А 0 -------

— 2

* ^ Р 9 ^ ^ Р 9 — 0 ,

Р.Ч = 1

пп

A H j — 2

a p i A 4 p

2

S p q ^ A p q i = 0 ,

 

 

Р = 1

Р,<2=1

 

,

(2.55)

 

n

 

 

AAift

2 (®Р1^-4рл Ч- ®p(c^^pi)

 

 

 

р=1

 

n

 

 

 

n

 

 

 

 

— 2 2 a P i k ^ A p — 3 2 S p q & A p q

0,

 

 

p=1

 

p, g=l

 

 

должно быть устойчивым. Можно показать, что по край­ ней мере для случая малых спектральных плотностей шу­ мов Spq устойчивость тривиального решения уравнений

(2.55) получается при положительных действительных частях у корней характеристического уравнения линей­ ного приближения исходной системы.

Условием существования нормального стационарного равновесного распределения согласно (2.54) является

72 Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я [ГЛ. II

наличие действительного решения системы уравнений

 

 

 

п

 

 

 

 

 

п

 

 

 

 

~2~

2

S p q i ^ - p q

 

=

—

2

а рр>

 

 

 

Г,

7=1

 

 

 

 

 

р=1

 

 

 

п

 

 

п

 

 

 

 

 

п

 

 

 

2 Р + 2 ^ P q - A p i A q =

—2 2 a p p i i

 

п

р = 1

 

 

Р, 9=1

 

п

 

р=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ( a P i ^ P k + ар|Ди)+22 a P i k A p +

 

 

Р=1

 

 

 

 

п

 

Р=1

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2

S p q

A р , А q k

=

 

6 2 a PPi/p

(2.56)

 

 

 

 

P. 7=1

 

 

 

 

р=1

 

 

2 ( a p i k . . . r A p s + • • • + d p l c / . . . s - 4 p i ) +

 

 

 

p = i

' ~ f T

n

 

 

“

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

2 a pi«...s + p

= — TV (TV +

1)

2 a ppik..s

 

 

 

P=1

N + i

 

 

 

 

 

P=1

JV+2

 

 

N

=

3 , 4 , . . . ;

i,k, l,

. =

1 ,2 , ... ,n.

 

 

Для существования

нормального

центрального

( ^ =

=

. . . =

А п = 0)

стационарного

равновесного

распре­

деления

согласно

(2.56)

необходимо

и достаточно, чтобы

71

Яр/>г =

0

и система уравнений

 

 

 

 

р= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т*

 

 

 

Т1

 

 

 

 

 

 

 

“ о" 2

^ p g^ -p g = — 2 а рр>

 

 

 

 

 

 

р ,«= 1

 

 

p = i

 

 

 

 

2

(a P i A pk +

а ркА р д +

2

S pqA PiAqk —

 

 

Р—1

 

 

 

 

Р, 7=1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

—

 

6 2

a PPiki

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

р= 1

 

(2.57)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§2.3] СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ 73

2

(®pik...r A ps "Ь • ■• ~Ь ®pfc(...s А р;) —•

 

 

 

Р=1

— л Г

'T v - '

П

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= — N ( N — 1) 2

appi..^

(2,57)

 

 

 

 

P=1

JV+2

 

 

Лт = 3,4,

] i, /с,

.. . — 1 , 2, . . . , и.,

 

имела действительное решение.

 

 

 

 

Покажем на примере,

что существуют нелинейные ди­

намические системы, для которых эти условия выполняют­ ся. Рассмотрим снова вращательное движение твердого тела при наличии моментов демпфирования и шумов (случайных возмущающих моментов в виде белых шумов).

Исходные уравнения имеют вид

 

 

i'l ~Ь a l l x l

“1"

a 123X‘i X 3 —

l l .

 

 

 

--р а.12х2

 

а.пзх,1Х3 =

с2,

(2.58)

 

 

+ ^зз^з + °з

 

 

где а123, а213, а312 выражаются формулами (2.50),

а шумы

£i,

1з считаются независимыми. Условие (2.57)

прини­

мает вид

 

 

п

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2 SppA рр ■

2 ftppi

 

 

 

з

p = i

з

Р=1

 

 

 

 

 

 

(2.59)

 

2 ( Р р Л р к + a p k A p i ) "Ь 2 S p p A p i A p i ; ~ О»

 

 

 

P = i

 

р=1

 

 

 

з

(apifc*4pi + арцА рк + ЛртАр^ = 0,

 

 

2

 

 

p = i

 

 

 

 

 

остальные уравнения (2.57) обращаются в данном слу­ чае в тождества. Вторая группа уравнений, которую с

учетом того, что aih =

0 при i Ф к,

можно записать в виде

з

 

 

(аи + а кк) Ajic -|- 2

S p p A p i A qk =

0 (t, к = 1, 2, 3),

p—i

Смотрите также файлы