Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 94

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 2.3]

 

 

СТАТИСТИЧЕСКАЯ

УСТОЙЧИВОСТЬ

65

6 2 а ррЦ + 2 2 a PijAp — о,

 

 

 

 

 

Р = 1

 

 

Р = 1

 

 

 

 

 

 

 

1 \

( N

-\-

1) 2

а РРО ••• s "4" N

 

2

а ргз ... sA p

~Ь

 

 

 

 

 

р =1

N+2

 

 

Р=1

ЛГ+1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

(a P.i/C ...s^p»+ • • • +

a Pih1 rA p s) +

 

 

 

 

Р = 1

'~ N ~ '

 

 

 

 

'~ N ~ '

 

 

 

 

 

2

П

( а РЩ ... s-Api} +

 

+ a Pi] -

 

 

 

+

"/V — '1■ 2

• • •

/"4prs)

+

 

 

 

 

P=1

N- 1

 

 

 

N- 1

 

 

(2.45)

 

 

 

3!

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(/V — 1) (/V ZZT572

(a Plm

... sApijk + • • -

 

 

 

 

 

— 2)

p=l

 

 

 

 

 

N—2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

... 4" flpij ... m^prs) 4”

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

JV-2

 

 

~b

ДГ _^ 2 (^Pra-Api] ... f 4- •••4- GpijApIcl ... j) — 0 ,

 

 

 

 

P=1

 

 

JV—1

 

 

 

A '-l

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(i, /, &, . «• —

 

1 T2,. . ., и).

 

 

 

 

Как

видно,

условия

существования

стационарного

равновесного распределения в системе без шумов накла­ дывают определенные ограничения как на коэффициенты системы, так и на коэффициенты самого стационарного распределения. Любое распределение, удовлетворяющее этим условиям, сохраняется в системе неограниченно долго. В этом смысле такое равновесное распределение можно считать устойчивым (не асимптотически) или ней­ тральным. Из этих общих условий существования равно­ весного распределения можно получить целый ряд усло­ вий для частных случаев.

Условия

существования симметричного относитель­

но центра

фазового пространства равновесного распре-

3 А. А. Красовский

66

Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я

[ГЛ. II

деления заключаются в наличии n-кратного нулевого кор­ ня и выполнении равенств

пп

2 а РРг ~

2

а РРгз — О?

Р=1

р=1

 

N (N + 1) 2

аррц —в +

2

(®pjft s-^pi +

• •

Р=1

N+2

Р=1

N

 

 

a Plj ... rA ps) -f-

 

 

 

 

 

(2.46)

 

3!

(a Plm ••• s-^pij/c “Ь

 

 

__21 2

•

(TV — 1) (TV — 2)

 

 

 

 

P=1

 

N - 2

 

 

 

 

 

 

 

d p ij... mA Pfrs)

= 0,

 

 

 

N - 2

 

- . • — l f 2 , . * ., j i .

Для равномерного в пределах всего фазового пространства распределения вероятностей все коэффициенты A t , A i k ,

A ih[, . . . равны

нулю.

В соответствии

с (2.45) Необходимыми и достаточными

условиями существования в стационарной системе без шу­ мов равномерного равновесного распределения вероят­ ностей являются наличие n-кратного нулевого корня у

характеристического уравнения

линейного

приближения

и выполнение

равенств

 

 

п

п

п

 

2 a PPi — 0»

2 а РРг) = 0| • • .)

2 a PPij---s

— 0» (2.47)

Р =1

Р =1

Р=1

 

i, j, s... = 1, 2, . . . , п.

Динамические системы, в которых выполняются условия

П

(2.47) и условие 2 a w — 0, названы выше обобщенно

p = i

консервативными системами. Подклассом таких систем

§ 2.3]

СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

67

являются системы без прямых связей, у которых все коэффициенты с двумя одинаковыми первыми индексами равны нулю (арр = 0, appi = 0, . . . ).

Таким образом, в стационарных обобщенно консерватив­ ных системах и системах без прямых связей при наличии n-кратного нулевого корня у характеристического уравне­ ния линейного приближения в отсутствие шумов сущест­ вует равномерное равновесное распределение вероятно­ стей. Если в таких системах в начальный момент было равномерное распределение, оно сохраняется неограни­ ченно долго.

Согласно тем же соотношениям (2.45) необходимыми и достаточными условиями существования в стационарной системе без шумов равновесного нормального распределе­ ния вероятностей являются наличие n-кратного нулевого корня и выполнение равенств

п п п

2

^ppi=

о»

® 2 appi3 “i~ 2 2

Я'р'и^р =

о»

p=i

 

 

 

p=i

р=1

 

 

N

(N +

1 )

2

а ррЦ ...» +

^

2

а рИ — » ^ р

+

 

 

п

35=1

P=1

'ТК?

(2.48)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+

2

(а РЙ ... s-4pi +

• •

• +

a Pij ... r-Aps) — О,

 

р=i

N

 

 

N

 

i, j, к,. .. = 1 , 2 , ... , n.

Рассмотрим конкретный пример — вращательное дви­ жение твердого тела, описываемое уравнениями Эйлера

(1.37)

^ 1 “f~

^ 1 2 3 ^ 2 ^ 3

~

2 ~~Ь

^ 2 1 3 * ^ 1 ^ 3 =

* 3

 

~~Ь ^ 3 1 2 ^ 1 ^ 2

= О ,

 

 

 

 

 

 

 

 

(249)

где

хх, х2,

х 3 — угловые скорости в

связанных

осях,

а 123 =

т---- »

Я213 =

--- J ---“ >

а 312

=

---- •

(2.50)

 

J x

 

J V ‘

 

 

J z

 

3*

68 РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я [ГЛ . 11

Характеристическое уравнение линейного приближения

имеет

здесь

трехкратный

нулевой корень. Условие

з

 

выполняется.

Кроме

того,

ацЫ = ацыт =

aPPi = 0

р — Х

— 0.

Поэтому равенства

(2.45)

принимают вид

=

з

2 ариАр = °*

р=1

(2.51)

2 {a PrsA pij — f 'I" ■• • "Ь a pijA pkI ... s) — 0 ,

Видно, что равномерное во всем фазовом пространстве рас­ пределение плотности вероятности является в данном случае равновесным. Кроме того, существует множество других равновесных распределений. Раскроем первые две

группы (N = 2, 3) соотношений

(2.51) с

учетом того,

что все коэффициенты

(г, /, к

= 1, 2,3),

кроме (2.50)

и им симметричных в смысле перестановки двух послед­ них индексов, равны нулю. Получаем

а123А 1

== 0,

 

 

=

0,

Яз12^3 — 0,

2йз12^4з1

= 0)

2a2i3-^2i

=

0,

2a3x24 2 — 0,

Яхгз-^ц

& 213А 22 +

Язхз^ЗЗ

=

0,

2я213-423 —

0,

 

ai23A i2 "Ь 2а

1234 з

=

0.

 

 

■Если а123 ф

0, я213 Ф 0,

а312 Ф 0,

что имеет

место при

различных моментах инерции тела относительно главных

осей, то из этих

выражений вытекает

 

 

 

А \ = А ° =

4 = 0 ,

А°п = А \ з = 4 з = 0 ,

(2.52)

J _

j„ — j .

I

V

х

л»

 

 

J v -

J x

л 33

0.

4 + ■

' "Г

г

 

Таким образом, «нормальная составляющая» равновесного распределения угловых скоростей является центральной канонической. В главе I на основе привлечения первых

§ 2.3]

СТАТИСТИЧЕСКАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ

69

интегралов исходной системы уравнений было показано что в данной системе существует множество равновес­ ных распределений, выражаемое формулой

1пр =

Т ( / Л а + Jyxt +

J zx l Л х \ + J\x\ +

Jlxl),

(2.53)

где ¥ — произвольная функция.

Ясно,

что

нормальная

составляющая распределения (2.53) имеет вид

 

 

С1 ( J x X l Ч' J y X 2 Ч~ J 2 Х л‘ )

Ч‘ с 2 (? хх 1 Ч~ J'ilx 2 Ч"

з) =

 

 

 

 

_

_L А0 г2

I- _L /1° -А А

1

Л° г2

 

 

—

 

' ~

л ггхг i — ~

-^зз-чи

где

2 J x ( Сх +

C2J X), А°22 =

2 J у (С, Ч- C2J y),

А°п =

 

А% = 2/ г (Сх + С2/ г),

 

 

 

 

a Cj, С2 — произвольные

постоянные. Подставляяэти

выражения для Ац,

Л22,

в (2.52), получаем

тождество

2Сх { J z ~ J y A ~ J x — J z ^ -J y —J х) Ч- 2С2 (J xJ z — J xJ у Ч*

Ч- J XJ у JyjZ 4“ J yjz 4 a;/2) ==

Аналогичную проверку удовлетворения условиям (2.51) можно выполнить для старших членов распределения (2.53), представленного в форме степенного ряда.

Перейдем к рассмотрению равновесных распределений в стационарных системах с шумами. Обозначим коэффи­ циенты стационарного равновесного распределения, кото­ рые по определению постоянны, чертой сверху. В соот­ ветствии с (2 .1 1 ) эти коэффициенты удовлетворяют бес­

конечной системе нелинейных алгебраических уравнений

 

2

З р ч ( A p q + & p A q ) — — 2 °РР>

 

 

Р, д=1

р=1

(2.54)

 

 

 

2

р

Ч 2 ^ Р 1 pqi Ч- A ptA q) — — 2

2 a ppii

Р=1

 

р, q— l

Р=1

Смотрите также файлы