Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 100
Скачиваний: 0
§ 3.1] П Р И М Е Р Ы |
СТАТИСТИЧЕСКОГО |
И СС ЛЕД О ВА Н И Я |
89 |
|
где |
|
|
|
|
п |
Г2 |
о,зз — |
Г3 |
|
ЙЦ — У~ ! |
а22---- т~> |
|
|
|
остальные
a-in = 0;
J z J y
J x - J |
Jy |
Jx |
® 123 ~ |
JТж ’ |
®213 |
-J |
-------- i |
Я 312 — • ------- |
т-------- |
|
J 11 |
|
J Z |
|||||
a 4, 10, 13 — |
a 426 — |
a 5, 11, 13 |
— |
® 534 — |
a e, 12, 13 — |
f l615 |
|
— |
a 729 |
— ®837 |
== a 918 = |
® 13, 2, 12 |
= ® 11, 3 , 10 |
= |
|
= ®12, 1, 11 = 1 » (3.3)
®435 ~ |
®516 |
— |
®624 = ®738 — |
®819 = ®927 = ® 19, 4 , 13 ~ |
||
= |
® 10, 3 , |
11 |
= ® 11, B, 13 = |
® 11, 1, 12 = |
® 12, 6 , 13 |
= |
|
|
|
|
= |
®12, 2,10 = |
-- 1 , |
остальные aikl — 0;
JZ |
Jy |
|
®i, и, i2, i3 — — 3 |
1 |
I |
|
Jx |
|
3 J ^ “ * J 2. |
|
|
— т---- |
|
|
Jy — J* |
||
® 3, 13, 11, 13 — — 3 — |
j |
|
J
остальные — 0. Фундаментальная система весовых
функций линейного приближения здесь весьма проста, а именно:
|
wlx{t) = |
exp ^----- |
7 ~ ^ \ |
|
|
w2i (t) = |
exp ^----- |
’ |
|
|
Ww(t) = |
exp ^ |
j - t j , |
(3.4) |
|
|
|||
остальные |
1 при i = к |
(i = 4, 5 , . . . , 13), |
|
|
a’t/c 1 |
|
|||
0 при i |
k. |
|
|
|
|
|
|
||
90 |
Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ Р Я Д О В [ГЛ. I II |
|
Выражения (2.23) для данного случая принимают вид
А0 — |
+ (®и + a%i + |
я33) t, |
Ai = Aiwa (— t), |
|||||
Ay (t) = |
AijWn ( |
t) Wjj ( |
t) -|- |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 2 |
$ a-рцАр (f) wH (f |
- |
t) wa (f - |
t) df, |
||
|
|
P=1 0 |
|
|
13 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Aijk (t) = AtjkWu (— t) Wjj (- |
t) wkk (— t) + 2 |
$ X |
||||||
|
|
|
|
|
|
P=1 0 |
|
|
X {3aPijkAp (t ) + [flpjkA-pi (O + |
apikAPj (f) + |
|||||||
+ apijApk (ОИ wa [t' — t) Щ} ( f — t) wkk (f — t) df, |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.5) |
Aijk...s(t) = Av.^wa (— t) Wjj (— t ) .. . wss (— t) + |
|
|||||||
~lf" |
|
'~?T |
|
|
|
|
|
|
|
13 |
^ |
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
${ (TV—1) (TV—2) ^PiikApL^ ( f ) + • • • |
||||||
p = 1 О |
|
2r |
|
ЛГ-2 |
|
|
||
• • • + |
|
|
|
|
(O |
+ |
• • ■ |
|
®PqrsApi--f (OJ + -дr _ i |
|
|||||||
|
|
'iV—2 |
|
|
N^l |
|
|
|
. .. + aprsApi_f(f)] Wjiif—t) Wjj ( f — t)...wss ( f —t)}df, r+T
В соответствии с выражениями весовых функций (3.4) формулы можно представить в более развернутом виде*):
Ai (t) = А° exp ( a n t ) |
при |
£ = |
1,2,3; |
|
||
А{(t ) — A\ |
|
при |
i — 4, |
5 , . . . , |
13; |
|
Aij (t) — Aij exp [(a*j + ajj) t\ + |
|
|
|
(3.6) |
||
, o V |
3o . |
exp (app0 |
exp [(ai{ + a--) t] |
|||
“i ^ Z j |
A Pa Pij |
|
2 |
I__n _ |
a .. |
|
p = l |
|
|
|
PPl |
»i |
П |
при £, 7 = 1,2,3;
*) Здесь считаем avv ф ац + ajj, в случае avv = ац + ajj результат получается предельным переходом.
§ 3.1] П Р И М Е Р Ы СТАТИСТИЧЕСКОГО И С С Л Е Д О В А Н И Я
13
АИ(0 = |
АЬ exp (aHt) + |
2 2 |
A°papij -°-Хр (-1^ — - |
|
||||
|
|
|
|
|
Р—4 |
“« |
|
|
|
|
при |
7 = |
1,2,3; |
/ = 4,5,..., 13; |
|
||
|
|
|
13 |
|
|
|
|
|
А ц (0 = |
А Ь + |
27 2 |
A p^pij |
при г, 7 = 4, 5, ..., 13; |
||||
|
|
|
р=4 |
|
|
|
|
|
|
(0 — ^?;к ехР Kaii+ аЦ ~Ь ям)7J+ |
|
||||||
|
3 |
t |
|
|
|
|
|
|
+ |
S |
5 ГаР7к^Р1 {t ) ~i“ dpiftApj (7') |
&pi)Apk (01 ^ |
|||||
|
p=io |
a,jj + акк) (7—7')] dt’ при i,j,k = |
|
|||||
X exp [(a{i + |
1, 2, 3; |
|||||||
Aijk (t) = |
-4y/t exp [(aH+ |
a,jj) 7] -\- |
|
|
||||
|
13 t |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
2 |
\ \ a PjkA Pi ( O |
+ |
a PikA Pi ( О "Ь a PiiA Pk |
)1 X |
|||
|
Р=1 О |
|
|
X exp [{flu + a-jj) (7' — /)] dt' |
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
при 7,; = |
1,2,3; |
&= 4, 5,. . . , 13; |
|
|||
|
|
|
|
|
|
13 i |
|
|
|
(0 = |
Лу/с exp (att7) |
+ |
2 5 [flpHp, (7') + |
|
|||
|
|
|
|
|
v= 1 о |
|
|
|
|
|
“b^pifc-^pj (O |
®pij^4p/j (7 )] exp [яд (7 |
7)] d7 |
||||
|
|
при |
i = 1,2,3; 7, /с = 4, 5 , . . . , 13; |
|
||||
|
|
|
13 |
! |
|
|
|
|
|
(7) = |
A'ljii + |
^ l^aPijkAp {t') + |
|
|
|||
|
|
|
P = i о |
|
|
|
|
|
|
|
"4" a PjkA pi{t') |
+ a pikA pj{t') |
+ a pijA Pk (OJ |
||||
|
|
|
при 7, 7, к = |
4, 5 , . . . , |
13; |
|
||
91
(3.6)
Для конкретного решения задачи необходимо задать ся начальным распределением вероятностей. Рассмотрим
92 |
Р Е Ш Е Н И Е |
Ф ПК -У Р А В Н Е Н И Я |
МЕТОДОМ РЯ Д О В |
[ГЛ. Ш |
|||||
начальное распределение, при котором |
|
||||||||
|
Л? = |
0 |
(£ = |
1 , 2 , . . . , 12), |
Аы -- ,2 |
|
|||
|
Л° |
|
^X |
|
лО |
Jy |
|
Зп |
|
|
|
|
|
,0 |
|
||||
|
ЛИ — |
|
~Г > Л22 = |
------ Г- . |
А33 = ----- -Г- , |
|
|||
|
Л44— >455 —. . . — ^4*2,12 — 0, |
1 |
> (3-7) |
||||||
|
^4l3,13 — |
|
|||||||
|
А°цs = |
0 при |
А |
г, |
|
|
|
|
|
|
4?/с( = |
4 |
а/>п = |
• • • = |
О, |
|
|
|
|
где |
a?, oq, |
Qq — заданные |
положительные величины. |
||||||
Такое начальное распределение является нормальным не зависимым распределением по угловым скоростям и рав
но мерным распределением |
по угловым координатам, а |
|||
именно: |
|
|
|
|
Ро = exp |
AS |
|
(Si1- fio)2 |
|
2з* (J х(0х + |
j ij'Ay + J Z®*) |
|||
|
||||
Подставляя начальные условия (3.7) в формулы (3.5) или
(3.6) и |
полагая дополнительно |
|
||||||
|
|
|
|
Г] |
— ^22 = |
Г2 |
ГЯ |
|
|
|
— ~т |
”7— = ^зз = |
“7----- ^0> |
||||
находим |
|
|
|
х |
|
|
J у |
J Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•40 = |
-4J + |
За0t, |
Ан = |
Ли ехр (2а0<), |
t = 1, 2, 3; |
|||
4 ( 0 |
= |
0, |
|
i = |
1, 2 , . . . . 12; |
|
||
4 i ( 0 = |
4 i |
= 0, |
£ |
= 4 , 5 .......... 12; |
|
|||
и,13 (0 |
= |
-413,13 — ------ «-; |
|
|
||||
4 д -(0 |
= |
0. |
|
г,/, А = |
1,2, ..., 13; |
(3.8) |
||
-4i.il,12,и = |
з |
J —J |
|
|
||||
- |
г _а - |
[ехр (2а00 — ехр (a0f)], |
||||||
|
|
|
J —J |
[ехр (2а00 — ехр(а„0], |
||||
Л 2 10,12,13 |
|
з - ^ Н |
г |
|||||
|
|
|
|
аоз‘ |
|
|
|
|
Аз.ю,иле = |
3 |
j |
—j |
|
|
|
||
- |
у |
* [ехр (2а„0 — ехр (а„<)], |
||||||
|
|
|
|
аозг |
|
|
|
|