Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 105
Скачиваний: 0
§ 3.1] |
П Р И М Е Р Ы СТАТИСТИЧЕСКОГО И ССЛЕДОВАН ИЯ |
93 |
все остальные A ijhl (<) = 0;
^1-2.ал1л?лз=
1
Al’3’10’13’13 =
^ 1 ,2 ,1 0 ,1 1 ,1 3
3
~2
3
"4Г
О
3
2
|
|
|
1 |
|
|
a°STJ x |
^ ---- —J exp (2a0f) 4" |
ao exp (a0<)J, |
|
V |
x - J *r |
[(* ~ ^Г) 6ХР (2<V) |
_1_ |
exp (a„o], |
' aoaf/JOloC^Jy |
ao |
|||
1.Т |
— .Т V- |
t — — )exp(2a0i) |
|
exp (a0t) I, |
(■J |
y - J xУ |
ao |
||
aotfJ,, |
|
|
||
|
|
|
||
На основе этих выражений коэффициентов представим текущую логарифмическую плотность вероятности с точ ностью до четвертых степеней аргументов:
In р = Aq За0<•— |
|
хъ |
1 |
Q2 |
|
-----—тт (Jх'°х + J у'<>1+ |
Jz^z) exp (2а0£) -|----2L х 13-----—j — \- |
|
2зт |
Sn |
2зП |
+ “V IV2 — Jy) ®ЛY*i3 + (Jx — Jz) “|/TT'^13 +
а<3т
+ (Jy — Jx) ЮгТТ'^тз] [exp (2аэ0 — exp (аэ<)],
где х13 = й 2. Нас интересует прежде всего распределение
по направляющим косинусам или углам. Плотность рас пределения Ру (у, у', у") получается путем интегрирова
ния плотности р (у, |
у', у", |
со*, |
|
соу, coz, |
й 2): |
||
|
ОС |
|
|
|
|
|
|
Pv (т> т'. Т") = |
у |
• ■^pdaAd(Dud(0z(lx13 = |
|
||||
оо |
—оо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= са у .. ^ exp |
— |
(Jx'0%+ |
Jy'ol + |
/ zcoz) exp (2a„i) + |
|||
—oo |
|
^ |
T |
|
|
|
|
0* |
Xu |
|
13 + |
|
[(Jz~ J v) ®*T'T'*is |
||
+ |
|
aoa‘ |
|||||
|
|
2«o |
|
|
|
||
+ (Jx — Jz) ®ЛТ"*1з + (Jy — Jx) ®2ТГ'^1 з] X
X [exp(2a.,i) — exp(a0«)]|d(o*d(oudcozdx13, (3.9)
94 Р Е Ш Е Н И Е Ф П К -У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ Р Я Д О В [ГЛ. III
где q = сг (t). Если разброс по орбитальной угловой ско рости Q мал, то величину Q2 можно считать детерминиро ванной, Q2 = £2о> и выражение для p Y можно записать в
виде
СО ОС СО
М Т » Т'> Т*) = М О $ ^ ^ е х р 1 - ^ - ( / хш ' + / « ® 2 + Л м 1 ) х
X. exp ( 2 a 0t) -1------ ^ l ( J z |
J y ) (i>xТ Т |
(J x |
^z)®uYY ~Ь |
аоо,г |
|
|
|
(/„ — / х) co2yy'J [exp (2а0г) — exp (а0*)] daxd(ayd(oz.
Определяя этот интеграл по известной формуле [3.1 J, на ходим
Py(Y, Г', Г") = |
сз (0 ехр 9^ |
[exp(a0<) — I]2 X |
|
|
2аК |
|
|
(Jz Jy) |
-j- (/ж |
_j_ |
^ y 2y '2 (3.10) |
J X |
J у |
|
J z |
При анализе этого выражения следует иметь в виду, что оно определено с учетом небольшого числа членов ряда и поэтому имеет силу для начального этапа переходного процесса изменения распределения вероятностей. Для этого этапа a at < 1 и exp (a 0t) —1 ж a0t. Таким образом,
для данного этапа
Pv с3 (0 ехр |
^ |
Г'У'2 + |
_J__ |
h)2 y2Y> |
(jy JxY 2 ,2 |
|
|
----t— tY* . (3.11) |
Кроме того, необходимо учитывать, что направляющие косинусы связаны соотношением
V2 + V'2 + т"2 = !•
Поэтому любой из трех аргументов у, у', у " может быть
исключен.
Рассмотрим случай, когда I x = I y ^> I z. Это соответ
ствует телу в виде тонкого стержня с осью z, направленной
§ 3.1 |
П Р И М Е Р Ы СТАТИСТИЧЕСКОГО И СС Л ЕД О ВА Н И Я |
95 |
|
|
по продленной оси стержня. Для данного случая
ру х с3(t) exp |
' |
j j - t ' w |
Y'2 + r Y 2) |
|
||
|
|
|
= |
c3(t) exp |
t2 (y"2 — y"4) |
(3.12) |
Согласно этому выражению плотность распределения |
||||||
имеет |
максимум |
при |
|
|
||
у" = ± ц у 27 т. е. в |
|
|
||||
положении, когда про |
|
|
||||
дольная ось стержня об |
|
|
||||
разует с радиусом-век |
|
|
||||
тором орбиты (верти |
|
|
||||
калью) угол 45° или 135°. |
|
|
||||
Характер |
изменения *) |
|
|
|||
плотности |
вероятности |
|
|
|||
Ру по |
углу v |
между |
|
|
||
продольной осью стерж |
|
|
||||
ня и вертикалью (cos v = |
|
|
||||
= y") |
на |
рассматрива |
|
|
||
емом этапе переходного |
|
|
||||
процесса |
поясняет |
|
|
|||
рис. 3.1. Здесь представ |
|
|
||||
лена в полярных коорди |
Рис. 3.1. |
|
||||
натах зависимость pY от |
|
|
||||
v для четырех |
значений безразмерного времени |
|
||||
Под
характер полученного распределения нетрудно объяс нить, если принять во внимание, что учтены лишь члены ряда до четвертых степеней и вследствие этого найденная функция соответствует начальному этапу переходного процесса. Этот процесс начинается с равномерного (кру гового) распределения по углам и начального вращения, характеризуемого дисперсией а?.
*) Для получения распределения собственно по углу следует согласно общим правилам умножить pYна модуль якобинана пре
образования координат, который в данном случае равен | sin v |.
96 |
Р Е Ш Е Н И Е Ф И К - У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ Р Я Д О В [ГЛ. I II |
Градиентный гравитационный момент при плоском вращении спутника относительно горизонтальной оси из меняется с периодом л. Этот момент по мере гашения скорости начального вращения заставляет спутник качать ся относительно вертикали. Концентрация вероятности, сопутствующая подобному движению, отображается рис. 3.1. Чтобы обнаружить эффект сокращения амплитуды качаний и установления главных осей инерции спутни ка по трехграннику орбитальной системы координат, необходимо вычислить следующие члены ряда.
Оценка точности прогнозирования движения многих тел. Если движение N тел в пространстве происходит под
действием потенциальных сил, зависящих от расстояний между центрами масс тел, то уравнения движения могут быть записаны в виде
SN
|
|
|
2 |
|
тгкЧк + -Q— = |
О, |
|
|
||
|
|
|
4= 1 |
|
|
4i |
|
|
|
|
где qt(i |
= 1 , |
|
2, . . ., 3N) |
— обобщенные координаты, |
||||||
U — и(дг, . . ., |
qsN) — потенциальная функция. |
В форме |
||||||||
Гамильтона эти |
уравнения имеют вид |
|
|
|||||||
|
|
+ |
dh |
|
= О, |
Ci |
dH„ |
О, |
(3.14) |
|
|
P i |
|
дР; |
|||||||
|
|
|
а?. |
|
|
|
|
|||
где |
|
|
3N |
|
|
|
|
|
3N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
# г = у |
|
2 |
PikPiPb+U, P i |
= 2 |
|
||||
|
|
|
г,к— 1 |
|
|
|
|
|
k—i |
|
матрица |
р - =| | м- и| |
|
есть |
обратная |
|
матрица |
масс: |
|||
|
|
|
II = т -1 = || /га£Ь| - 1. |
|
||||||
Допустим, что до момента времени t = 0 ведется наблю
дение за движением тел с некоторой точностью, характе ризуемой распределением плотности вероятности ошибок
P o ( A q i , . • . , А д ' з х » А р 1; . . . , A p s N ),
и известны значения обобщенных координат и обобщен ных импульсов в этот начальный момент времени. Здесь А?г = ?£ — M[gf], Api = Pi — MlPl] — ошибки, M[g£J,
М[рг] — математические ожидания обобщенных координат
3.1] |
П Р И М Е Р Ы СТАТИСТИЧЕСКОГО И СС ЛЕД О ВА Н И Я |
97 |
импульсов. На основе знания математических ожиданий М[<7г(0)], М[/?г(0)] в начальный момент времени путем ин тегрирования уравнений (3.14) для этих начальных усло вий осуществляется прогнозирование движения (опреде
ляются q°i(t), p*i(t)). Требуется оценить точность прогноза
в произвольный момент времени ( > 0 в виде текущего распределения плотности вероятности
Р {Mil • • ч M 3N i АРп • • м АРзМ )
Используем подход теории малых возмущений, рассмат
ривая движение p%t), p%t) как невозмущенное. Считая функцию Гамильтона Нг, точнее, потенциальную функ цию U аналитической относительно qt (относительно pi функция Нг — квадратичная форма) в окрестности не
возмущенного (прогнозированного) движения, записы
ваем
3N
А А +1Д ^ |
г ) . л,*+ |
|
|
! |
3IV |
|
|
|
d*U |
AqkAql -|- ... = О, |
(3.15) |
|
|
||
|
|
3N |
|
M i —2 P i k M k = о.
к—i
Линейное приближение представим в матричной форме:
Ар + |
дЧГ_ |
Aq = 0, Aq т 1Ар = 0, |
(3.16) |
|
dq2 |
|
|
где Ар, Aq — векторы-столбцы, |
|
||
|
|
т = 1 ^ 1 |
|
квадратные матрицы. Используя блочные матрицы |
|||
х = |
|
|
(3.17) |
эти уравнения можно также представить в стандартной форме:
х + ах = 0. |
(3.18) |
4 А. А. Красовский