Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 106

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

98 Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ Р Я Д О В [ГЛ. I l l

Фундаментальная матрица весовых функций, удовлетво­ ряющая уравнению

iv -f

a w = 0,

w ( t ’ , t')

= 1

(3.19)

(1 — единичная

6N X 6А-матрица),

может

быть пред­

ставлена также в виде блочной матрицы с блоками вида ЗА X 3N:

 

II w p p ( t , t ' )

ivp q ( t , t ' )

И

w (^’

= \ w qp (t, t')

w q q { t , t ' )

I'

В этом случае уравнение (3.19) принимает форму

|Wpp

Wpq I

I

d"-U \

 

 

la?2

jo IWPP

wv9 I

ivqp

ivqq

+

 

0

||W9P

Waq II

 

 

— m

 

 

 

 

 

 

wpp{t', t') = wqq(t', V) =

1,

 

 

 

и^«(г', t') = wqp(t’, f) =

0.

 

Отсюда следует

 

 

 

 

 

 

“ М + ( Щ " ' * ' = 0’

 

+ (4 v H

 

“ °-

wnp — m~1wpp ----- 0,

 

wqq — mr1wpq — 0

или (m = const)

 

 

 

 

 

mwqq +

 

wqq =

'0,

wqq

(0, 0) =

1,

 

wqq (0, 0) =

0,

 

wpq = mwqq,

mibqp

+

) wqp = 0,

wqp

(0, 0) = 0,

 

wqp (0, 0) =

/re-1,

wpp = mwqp.

Рассмотрим теперь случай, когда начальные, а значит, и текущие ошибки достаточно малы для того, чтобы мож­ но было ограничиться первым членом ряда в уравнениях (3.15), т. е. ограничиться линейным приближением.

Согласно изложенному в главе I, в этом случае те­ кущее распределение определяется в общем виде. А имен­ но, если р (ajj, . . ., хп, 0) = р й{хъ . . ., х п) — начальное

распределение для координат системы (3.18), то текущее

§ 3.1]

П Р И М Е Р Ы СТАТИСТИЧЕСКОГО И СС Л ЕД О ВА Н И Я

99

распределение для этих

координат

равно

 

 

Р

— Ро S

W W

(0) t )

X / i , . . .,

2

(0, t ) Xfr

i

(3.22)

 

Lfc=i

 

 

 

/c=i

 

-*

 

где матрица

w =

Ц

||

определяется уравнением (3.19).

В векторной форме

 

 

 

 

 

 

 

 

р (х,

t)

= p 0[w (0,

t)x\.

 

(3.23)

Заметим, что

матрица

w (0, t)

удовлетворяет

уравнению

 

 

iv (0, t)

— w (0,

t) а (t) = 0.

 

(3.24)

Определение

фундаментальной

матрицы

w

требует

п — бТУ-кратного интегрирования (при п различных ус­

ловиях) системы линейных уравнений re-го порядка. Если время прогнозирования достаточно мало, то вме­

сто интегрирования уравнений (3.20) или (3.19) можно

воспользоваться

приближенным решением

уравнения

(3.20) в виде

конечного числа

первых членов

ряда

 

i

t

v

 

 

w (0, t) = 1

+ ^ a (<') dt' +

^ ^

a (t") a (t') dt" dt’ +

. . . (3.25)

 

о

0

0

 

 

Действительно, если этот ряд равномерно сходится вместе с рядом производной, что заведомо имеет место при достаточно малом t и ограниченной норме матрицы а,

то он сходится к решению уравнения (3.24). В этом можно убедиться прямой подстановкой выражения (3.25) в (3.24).

Во многих случаях достаточной характеристикой точ­ ности является корреляционная матрица ошибок — мат­ рица вторых моментов

II Мрр

м , p q

м =

(3.26)

II м qp

м ,да

где

М рр

M l p p * ], M p q =

M l P = M { p q T ] ,

M q q = - - M [ q q T } .

В соответствии с линейными уравнениями (3.16), (3.18) эта матрица удовлетворяет соотношению

М + аМ + Мат = 0

(3.27)

А*

100 Р Е Ш Е Н И Е Ф ПК -У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ Р Я Д О В [ГЛ. I II

и выражается формулой

 

М (<) = w (t, 0) М (0)шт (г, 0).

(3.28)

Если начальные ошибки столь велики, что необходимо учитывать старшие члены рядов в уравнениях (3.15), то решение задачи оценки точности прогноза может быть получено на основе формул (2.23).

В данном случае

 

д * Ц

при

v =

1, 2,. .., 3N,

 

avv —

 

 

0

при

v

 

3N,

 

 

 

 

 

 

 

ц

d3U

 

“ Р" -V, 1Л,е =

‘ . г .......ЗА

 

 

 

 

0

при других

значениях

v, р, 8,

(3.29)

 

 

dL(J

 

при V, р,

 

 

 

(L — 1)! \dqj)q^ V

 

 

 

 

 

)О

 

 

flvp...X —

 

 

 

 

• • •, X — 1| 2, • •

37V,

L

0 при других

значениях V, р ,. .., %.

 

Приведенные выше выражения являются общими для задачи определения распределения вероятностей при движении многих тел и могут использоваться в различных частных случаях.

В случае небесных тел, размеры которых малы в срав­ нении с расстояниями между телами, энергия гравитацион­ ного взаимодействия, определенная с точностью до ад­ дитивной постоянной, выражается формулой

 

 

 

 

 

 

т.тп-

 

V = -

 

 

 

 

 

__ г )

,(3.30)

т

/

2

 

V (*f- *f)2+ (?/“- У?)2+(*f- *f)4

М

,

М

,

М

— координаты центров массы тел в пря­

где Х{

г/i

Zi

 

моугольной инерциальной системе координат, / — грави­ тационная постоянная. Суммирование осуществляется по всем i, / в пределах от 1 до N, кроме i = j. Уравнения

(3.16) в скалярной форме в данном случае будут иметь вид

3.1] П Р И М Е Р Ы СТАТИСТИЧЕСКОГО ИСС ЛЕД ОВАН ИЯ

101

 

 

 

 

 

 

 

Apxi+ Л

\ Ах* + Л

( w w )„АуМ*+

 

 

 

+ S

(

^

r )

0Az”

,=0,

AA*+ Л

( д а1лт%м+к

(

w

Ау)*от +

 

 

 

N

а*г/

 

 

 

 

+

2

A zf =

0,

(3.31)

 

(

 

 

 

к=1 \

 

/о

 

 

ЛА*+ Д

( i w

l Д1,м+Л

(w

4

i 4fM

Ал/м

+

I .

(

w

) / ^ °

 

 

A p r i / m i = О,

А у - 1 -

A p v i/ m . = о ,

 

 

A i f — A p z i/ ' \ = 0 .

Вторые производные гравитационного потенциала в соот­ ветствии с (3.30) выражаются формулами

"- 3 (XV - *|f)2

'ip.

 

 

 

 

•2

3(®1М — х ¥ f

 

 

 

 

 

 

r iK

 

,

А/ i,

( ■ s ^ f ) , = -

 

.

'г/с

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ь М ж ) = - з м 2

т„ г ( * * - * ? ) & ? - У ? ) *

\

ахк /0

 

p^j

'ip

 

 

( ^ Й г ) . =

 

(xi * - xk) (yf1 - У f

)

(3.32)

 

 

r ik

J o

-

 

 

 

 

 

 

i

( l ^ r )

 

 

(г/ f — 2/jf)

—

 

= - 3 M 2 m » p

'ip

 

 

Nг

/о

 

 

L

 

 

№U

= З М т*t

'ik

Смотрите также файлы