Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

где индексом «0», как и раньше, обозначаются значения, соответствующие невозмущенному (прогнозированному)

движению.

Если рассматривается задача прогнозирования отно­ сительного движения малого тела, например космического корабля в Солнечной системе, то движение других тел (планет) целесообразно считать заданным. В этом случае уравнения линейного приближения (3.31) превращаются в уравнения для одного тела:

определяются вдоль траектории невозмущенного движе­ ния. За исключением тривиальных частных случаев (спутник в центральном поле на круговой орбите, тело вне гравитационного поля), эти производные являются функциями времени.

Поэтому определение фундаментальной системы реше­ ний (матрицы весовых функций) возможно или в числен­ ном виде, или по приближенным формулам типа (3.28) (для относительно небольших времен прогноза).

§ 3.2. Статистическая динамика свободного движения линейных систем

со случайными постоянными коэффициентами

На практике довольно часто встречается следующая задача. Выпускаются (серийное, массовое производство) однотипные системы, переходные процессы в которых с достаточной точностью описываются линейными диффе­

ренциальными уравнениями с постоянными во времени,

= 0.

но изменяющимися от изделия к изделию коэффициентами

§ 3.2] СТА ТИ СТИ ЧЕСКА Я Д И Н А М И К А СВОБО Д Н О ГО Д В И Ж Е Н И Я 103

(параметрами). Разброс параметров носит случайный характер и ограничивается допусками. Разброс парамет­ ров порождает разброс переходных процессов вплоть до возможной неустойчивости некоторых из выпускаемых систем. Требуется обосновать допуски на разброс пара­ метров систем. Подобная же задача возникает, если име­ ется одна система, описываемая линейными дифферен­ циальными уравнениями, многократно запускаемая. В каждом пуске параметры могут считаться постоянными, но от пуска к пуску происходят случайные изменения параметров.

Влиянием изменения параметров на переходные про­ цессы занимается теория чувствительности [3.2] — [3.8],

Переходные процессы при случайных начальных зна­ чениях координат и случайных параметрах наиболее пол­ но характеризуются текущей плотностью вероятности в пространстве координат р х{хх, . . ., х п, t). Поэтому есте­

ственно при рассмотрении указанной задачи использовать ФПК-уравнение и методы его решения. Сама задача в этом случае заключается в определении допусков на па­ раметры системы, при удовлетворении которых распре­

ниям параметров, не более чем на заданную определенным

где aik = М [aift] — математическое ожидание (номиналь­ ные значения) коэффициентов, Aaik — случайные центри­

рованные (М[Давс1 = 0) отклонения коэффициентов. По условию

104 Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ Р Я Д О В [ГЛ. III

обозначения с двумя индексами:

x l ~ х г0’ ^ a i h — x ih -

Тогда уравнения системы запишутся в виде

представляют собой совокупность уравнений номиналь­ ной системы

k=i

икоэффициентов

iih = 0 , 2, А = 1 ,2 , . . ., п .

Фундаментальная система весовых функций Wa>tjy it)

линейного приближения, удовлетворяющая уравнениям

П

2 ® ii't кк'ОДск', i f — 0,

§ 3.2] СТАТИСТИЧЕСКАЯ ДИ Н А М И К А СВОБОДНОГО Д В И Ж Е Н И Я Ю5

состоит из весовых функций номинальной системы

ФПК-уравнение, записанное для логарифмической плот­ ности вероятности In р (ж10, . . ., xnn,t), в фазовом про­

странстве системы (3.37) имеет вид

г. Л, ?==i;i',k ',j'= o

При этом предполагается, что плотность начального рас­ пределения может быть представлена в аналогичной форме:

(3.43)

Коэффициенты ряда (3.42) определяются как решение

106 Р Е Ш Е Н И Е Ф П К - У Р А В Н Е Н И Я МЕТОДОМ РЯ Д О В [ГЛ. I II

Согласно формулам (2.23) решение уравнений (3.44) мо­ жет быть выражено через квадратуры весовых функций