Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 91
Скачиваний: 0
§ 4.1] РА В Н О В ЕС Н Ы Е Р А С П РЕ Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМАХ 169
аованному условию линейной независимости уравнений, находим
4 Х) = |
- |
2а!(1)an i- аи |
А ? = |
2 ^ 1 ± ааа (а?> - |
а<г) a- |
i ^ ) |
/ |
. |
|
|
АЦагг ' |
|
Anaai \ 1 |
2 |
«21 |
|
|
Л'2) = |
|
2а<г) ап + «я |
и(2) |
о аи + «»/_(*) |
_(2) «п + «я\ |
■ |
||
|
Ап«21 |
Лг - |
Z~ S ^ T ia4 - |
а* — ^ г ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
(4.28) |
||
Последние две группы условий (4.22) в данном случае имеют вид
4я - «А»= /1? -«,4°,
a i |
"1— 2“ |
■+" ®*Я “ |
. |
( 4 . 2 9 ) |
= aI (»?> + A _ S „ 4 9) + « ? >.
Подставляя сюда выражения (4.28) и полагая au + a22 =5^0, получаем, что оба равенства (4.29) сводятся к одному:
+ С k > - |
- a f + |
«У 2 1 ± “ j |
|
«21 |
(4.30) |
или |
|
|
|
|
|
ttu> _ a(« + a Га<» _ |
а'2) _ (а<1>_ |
а<2>) S L ± f“] = 0. (4.31) |
L |
|
«21 J |
Выражение (4.31) можно считать окончательной формой условия существования кусочно-нормального равновес ного распределения вероятности для рассматриваемой
релейной системы. Если величины a(l \ ai2) аг\ а22>, аш
а22, а21 заданы, то условие (4.31) определяет коэффициент наклона ах линии переключения, при котором существу ет равновесное! кусочно-нормальное распределение.
Если |
= а22) = 0, |
а!1’ — а® Ф 0, |
то из (4.31) сле |
дует, что аг — 0. Таким |
образом, если |
«релейное управ |
|
ление» имеется лишь в одном уравнении, а именно в том, где присутствует шум, то равновесное кусочно-нормаль
ное распределение существует лишь при линии |
переклю |
|
чений, |
совпадающей с координатной осью х2 = 0. Это |
|
имеет |
место, в частности, для простейшей |
релейной |
170 |
РА В Н О В ЕС Н Ы Е Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМАХ |
[ГЛ . |
IV |
|
следящей системы, описываемой уравнениями |
|
|
||
+ a u zi + «12^2 = |
+ « i + I i , х 2 — Хх = 0, |
(4.32) |
||
где знак |
минус — при хй |
0 и знак плюс — при х г < |
0. |
|
Роль шума | х здесь может играть случайный момент на валу двигателя следящей системы.
Если 4 = а г = 0, 4° 4 2) ф 0, т. е. релейное
управление присутствует в уравнении, в котором нет шу ма, то согласно (4.31) условие существования кусочно нормального распределения имеет вид
«1 = — х — • <1ц + а22
2. Система с переменной структурой второго порядка с одной линией переключения описывается уравнениями
|
Х\ + |
йиХ1+ ап х2 = ёт, |
|
Х2 |
4l*^l ' 1,"Л22Х2 — 0 |
при ахг |
х% 0, |
(4.33) |
|
|
|
|
Х1+ аПХ1 + а<12 — ^2, |
|
|
&2 |
®21^1 "Ь 4ю — 0 |
при axi + |
х2<[ 0. |
|
Так же как в предыдущем случае, определяем коэффициенты с двумя индексами:
Л(V |
„(v) -L М |
i(4vi)+ 4 v2,)42) |
|
О И ^ й22 ^(v) __ |
|
||
Л11 |
|
M V |
|
|
|
(4.34) |
|
|
KV4V + (4V)2- 4V4V] (4V+4V) |
||
4 V = |
|
||
|
■sn («£«)* |
2. |
|
|
v = 1, |
|
|
Последние две группы условий существования (4.23) для данного случая имеют вид
— 2а1Л(112) + ^ 2 2 = 4 i — 2а 1А п |
+ А 22(2) 9 |
|
a i [4V —ai4V + — ^ii(4i —ai-4i2)j+ |
(4.35) |
|
+ ( 4 V — a 14 V ) = a j [ 4 21 — « 1 4*2 |
||
+ |
||
, 2) |
„(2К |
+ — S n (^n —®1-4а) I+ (4V —®4i b)'
§ 4.2] Ф П К -У Р А В Н Е Н И Е И С И Н ТЕ З СИСТЕМ У П Р А В Л Е Н И Я 171
Подставляя сюда выражения (4.34), после преобразований получаем
2d! [a^a&ViV-+ Оаа)(ваУ— |
+4а) ( ай) г]= |
|
= (4 1))2 (ail4- Ли ) [ЛиЛм—afMV—(ajg)8—(4i )2] — |
|
|
— (оЙ))*(аЙ)+ в « ))[виви — л'иЛи — (Ли )2 — (л^)2], |
(4.36) |
|
д ( ! ) |
а(2) |
|
31 |
-‘г! |
|
= afi — аЧ1
В отличие от рассмотренной релейной системы, условия (4.36) существования кусочно-нормального равновесного распределения в СПС включают два соотношения. Усло виям существования (4.36) можно удовлетворить, подби рая коэффициент наклона ах прямой переключений и обеспечивая дополнительно одно соотношение между ко эффициентами уравнений в обоих полупространствах.
Если = fl4i\ а выражение в квадратных скобках второго из условий (4.36) отлично от нуля, то условия существования упрощаются: oti=0,
(«и + «и) [л^ли — а$а!$ — (д&У — (ац)2] =
—(Ли 4" а<2ъ) [а П а<21 — ЛцЛад — (Л м )2 — (Ли )2]-(4-37)
Вданном случае линия переключений совпадает с осью %. При других предположениях о коэффициентах уравнений в обоих полупространствах из (4.3б) можно получить большое число частных форм условий существования рав новесного кусочно-нормального распределения в рассма триваемой системе.
§4.2. ФПК-уравнение и синтез систем управления
ифильтрации
Втеории аналитического конструирования систем управления доказаны следующие положения [4.6] — [4.8]. Для объекта, описываемого уравнениями! |
*1 + f t К» •••» *п» 0 = ««. *= 1, 2, |
(4.38) |
172 |
РА В Н О В ЕС Н Ы Е РА С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМАХ [ГЛ . IV |
где ut — синтезируемые управления, могущие быть функ циями всех фазовых координат xL, . . ., хп (полная сте
пень наблюдаемости), оптимальными в смысле минимума функционала
I = V3[Xj (t%), •. ., хп(^2)] -Ь
tг |
t, п |
г |
|
+ j e ( * x , . . . , * n,f ) * |
+ 4 - j 2 |
( т - ) dt, |
(4.39) |
где Va — заданная функция значений фазовых координат в момент времени t — t2^> tx, Q — заданная функция фазовых координат и времени, kt —- заданные коэффици
енты, являются управления
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
(4.40) |
где V (а^, |
. . ., хп, t) — решение |
уравнения |
в |
частных |
|||||
производных |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
f |
dV |
1 |
v |
/ь |
|
- Q |
|
(4.41) |
Zj |
— |
2 |
Zj \^ д х , |
|
|||||
|
i=l |
* |
|
i=l \ |
1 / |
|
|
||
при граничном условии |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
V (хц . . ., xn, £a) |
= |
V3 (x*, |
. . ., xn). |
|
(4.42) |
|||
Далее, для того же объекта (4.38) |
оптимальными в смысле |
||||||||
минимума |
функционала |
|
|
|
|
|
|
|
|
I = V3[хх (г2), . . . , х п (*г>] + |
j |
Q (хь . . . , x n,t)dt + |
|
||||||
+ х |
j (**■) ^ + |
|
|
f( k i Щ ) |
d t |
(4,43) |
|||
являются управления (4.40), где V, однако, определяется
линейным уравнением в частных производных
п
(4.44)
при том же граничном условии (4.42).
§ 4.2J Ф П К -У РА В Н Е Н И Е И С И Н ТЕ З СИСТЕМ У П РА В Л Е Н И Я 173
Синтез систем управления. Сопоставим уравнение (4.44) с ФПК-уравнением (1.22) для свободного движения (uj = 0) того же объекта:
д Inр |
71 |
71 |
|
V 4 д In Р |
VI j |
(4.45) |
|
|
|
|
Пусть для момента t = t2 задана логарифмическая плот
ность распределения
In /> (* !,.. ., хп, g = In р3 (Хи . . . , Х п ) -
= - М * 1 . • • М*п) (4-46)
в виде отрицательно определенной функции, могущей служить оценкой (нормой) приближения к невозмущенно му состоянию и удовлетворяющей условию нормировки. Пусть определено решение ФПК-уравнения (4.45) при условии (4.46). Тогда, как видно из (4.42)—(4.46), спра ведливо следующее положение.
Если для неуправляемого объекта (м,- = 0) без шумов известно текущее распределение плотности вероятности в фазовом пространстве р (хг, . . ., хп, t), обращающееся в
рг (а*, . . ., ж„) = |
exp [—F3 (®г, |
. . ., хп)) |
|
|
в момент времени t = t2, |
то оптимальными в смысле ми |
|||
нимума функционала |
U п |
|
|
|
I — Ув lxi (h)i ■• • >Х„(<2)] + |
~дх~^ |
|
|
|
J 2 |
|
|
||
|
+ |
? № |
) ■ * |
<«•«> |
являются управления |
|
|
|
|
Ui==A ? i i ^ . |
|
(4.48) |
||
Функционал (4.47) является полуопределенным в том смысле, что назначаемыми по желанию конструктора яв ляются составляющие Уя и