Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 0
ГЛА&А IV
РАВНОВЕСНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ В СИСТЕМАХ С КУСОЧНО-ЛИНЕЙНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ.
ФПК-УРАВНЕНИЕ И СИНТЕЗ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
В данной главе рассматриваются относительно разно родн ы е во п р о сы статистической теории динамических
систем. Сначала выводятся условия существования ку сочно-нормального равновесного распределения в систе мах с кусочно-линейными характеристиками при наличии шумов.
Затем рассматриваются постановки задач синтеза си стем управления и оценивания и пути решения этих задач. Часть затрагиваемых вопросов носит проблемный характер и не имеет исчерпывающего решения.
§ 4 . 1 . Равновесные распределения в системах с кусочно-линейными характеристиками
Предположим, что re-мерное фазовое пространство ди намической системы может быть разбито на конечное чис ло областей C?v, в каждой из которых характеристики системы линейны:
П |
|
/|ч)(хъ . . . ,xn,t) = a(i ] + 2 aikXk, |
(4.1) |
k=l |
|
где a?\ a$ — заданные постоянные или функции време
ни. Области Gv в совокупности занимают все фазовое пространство и разделены заданными непрерывными ги перповерхностями
/'V (жц . . . |
, хп) = Cjx = const. |
(4.2) |
В дальнейшем в качестве таких граничных гиперповерх ностей чаще всего будут рассматриваться гиперплоскости
П |
|
(4.3) |
2 |
= с\>- |
|
г=1 |
|
|
§ 4.1] РА В Н О В Е С Н Ы Е Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМ АХ |
159 |
Поверхности (4.2), (4.3) будут именоваться поверхно стями переключений.
Будем полагать, что шумы, действующие на систему, одинаковы для всех областей фазового пространства.
Тогда уравнения движения в v-й области будут иметь вид
П
|
4" ai ^ + 2 aik x k = £i, |
(4.4) |
|
/с=1 |
|
где |
— белые шумы. Системы данного вида обычно на |
|
зываются системами с кусочно-линейными характери стиками. Подклассом этих систем являются релейные
системы вида
П
x i 4" + 2 aikx k — £ii (4-5)
<с= 1
в которых при переходе из одной области в другую меня-
(v)
ется скачком «постоянная составляющая» щ .
Другим подклассом кусочно-линейных систем являются системы с переменной структурой, исследованные С. В. Емельяновым и его учениками [4.1]—[4.5]. Для этого
подкласса ^ = 0, а граничными поверхностями служат
гиперплоскости, проходящие через начало координат. Часто используемая аппроксимация характеристик эле ментов систем управления в виде ломаных также при водит к уравнениям вида (4.4). Достаточно очевидно, что использование концепции фазового газа для систем с ку сочно-линейными характеристиками правомерно.
Ввиду локального характера ФПК-уравнения оно справедливо внутри каждой из областей Gv:
д In j |
|
^ |
Ду) д In р(ч) |
|
|
|
|
|
|
||
Ш |
|
А |
и |
дх. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=i |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
___ i_ |
Vi |
о / &1In |
|
d In |
d In |
_ |
|
||
|
|
2 |
.“ |
^ \ |
дх.дх. |
"T" |
dxt |
dx, |
J |
|
|
|
|
|
t,j= i |
' |
г |
j |
|
5 |
i |
/ |
|
_ |
v |
|
a In pW |
|
|
+ 2 |
aikxk) |
a in P<v) |
|||
~ |
^ |
dx, |
~ |
dt |
|
|
dx. |
||||
|
1=1 |
* |
|
|
|
|
|
k=l |
|
|
|
|
|
|
(P In />(v) |
|
d In p (v) |
d In pW ) |
-^i |
(v) |
|||
|
|
г,1=1 |
|
dx,dx, |
|
~ |
dx, |
|
dx. j ~ |
2 л |
a ii > (4.6) |
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
l |
|
|
160 |
РА В Н О В ЕС Н Ы Е РА С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМАХ [ГЛ . IV |
где р№ — текущая плотность вероятности в области G*.
Однако для решения задачи определения текущей плот ности вероятности этого недостаточно. Необходимы пред положения о поведении фазового газа на поверхностях переключения. Другими словами, система уравнений (4.6) должна быть доопределена условиями на поверхностях переключения. Здесь возможны различные предположе ния. Можно допустить существования концентрации фа зового газа на поверхностях переключения и возникнове ние бесконечной плотности на этих поверхностях по отно шению к остальной части п-мерного пространства. Можно предполагать течение фазового газа вдоль поверхностей переключения и определенные законы этого течения. Это естественно сделать для динамических систем без шумов с так называемыми скользящими режимами. Соответ ствующая теория еще ждет разработки и здесь не затра гивается.
Единственной задачей из данной области, которую мы рассмотрим, будет задача о существовании равновесного распределения в системе с кусочно-линейными характе ристиками при отсутствии скользящего режима, т. е. отсутствии течения фазового газа по поверхностям пере ключения.
Для равновесного распределения dpldt = 0 и уравне
ние (4.6) принимает вид
|
д21п р ^ |
9 In р ^ |
д In р ^ |
1 = - 2 |
(4.7) |
|
|
дх%дхк |
dxi |
дхк |
,' |
i=l |
|
Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
F4(x1, . . ., хп) = const |
|
|
|||
— поверхность переключения, |
разделяющая |
v-ю и |
||||
(v |
1)-ю области фазового пространства. |
Для равновес |
||||
ного распределения при отсутствии течения фазового газа по поверхности переключения плотность потока (матема тическое ожидание мгновенной плотности потока фазового газа) по нормали к поверхности, притекающего из области £?vt должна быть равна плотности потока, уходящего
$ 4 .1J РА В Н О В ЕС Н Ы Е Р А С П РЕ Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМАХ |
161 |
в область £„+1, в каждой точке поверхности переключе ния. Компоненты плотности потока в v-й области равны
Р(ч)1г> + -
Нормальная к поверхности составляющая потока полу чается как скалярное произведение вектора с компонен тами (4.8) на вектор нормали к поверхности, компоненты которого dFJdxi. В соответствии с этим указанное усло
вие равенства нормальных составляющих потоков запи шется в виде
в любой точке поверхности Fv = const. Распределения,
удовлетворяющие уравнениям (4.7), (4.9) и условию нормировки
являются равновесными.
Рассмотрим случай, когда имеются лишь две области (полупространства), разделенные одной гиперплоскостью
п |
|
2 ВД = 0. |
(4.10) |
В этом случав в уравнениях (4.7) v = 1, 2 , а условие
6 А. А. Красовсинй
162 |
РА В Н О В ЕС Н Ы Е РА С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМАХ |
[ГЛ . IV |
|||||
(4.9) |
принимает |
вид |
|
|
|
|
|
р (1 )2 |
( а<{1)■+■ |
2 |
+ |
~ 2 ~ 2 |
d f a P ~ ) a i |
|
|
i = i |
' |
fe=l |
|
ft= i |
a x k |
‘ |
|
|
i=l |
( « ? ’ + 2 |
+ 4 - S s |
. ^d x „ ) <* |
(* ■ « > |
||
|
|
k=i |
|
s=i |
|
|
|
на гиперплоскости (4.10). Уравнения (4.7) имеют точное частное решение в виде нормального распределения
In р№ = A[v) + |
2 A^ i + ~y 2 |
(4.12) |
|||
|
|
|
i=l |
I,)t=l |
|
где коэффициенты 4 |
V\ |
А $ |
удовлетворяют соотношениям |
||
2 а ^А У + ~ % S Pq(4 $ + |
4 VUS”) = — 2 |
арр> |
|||
р—1 |
p»a=i |
|
|
p=i |
|
2 (4v)4i + «рМр’)+ |
2 sP,4?4v) = о, |
(4.13) |
|||
p=i |
|
P>Q=1 |
|
||
п |
|
|
|
|
|
2 («М* + а(Л А<рЪ + 2 ^рИрМЙ= о |
|
||||
Р = 1 |
i, к = |
Р ,9 = 1 |
|
|
|
|
1,2,... ,п, |
|
|||
а коэффициенты A oV) |
остаются свободными и могут выби |
||||
раться из |
условия нормировки. При aft |
= 0 соотноше |
|||
ния (4.13), |
естественно, совпадают с первыми тремя груп |
||||
пами общих уравнений коэффициентов (2.11), записанных
для линейной системы (аш = |
а1Мт = |
. . . |
= 0) |
устано |
|||
вившегося |
режима |
{А0 = Ai — A ih = |
0) и |
нормального |
|||
распределения {АхЫ = A iMm = |
. . . = |
0). |
|
можно |
|||
Пусть |
а п Ф 0. |
Без ограничения |
общности |
||||
принять а , = 1 и |
вместо |
(4.10) записать |
|
|
|||
|
|
|
П—1 |
|
|
|
|
|
|
= |
2 |
агх1- |
|
|
(4.14) |
|
|
|
i=l |
|
|
|
|
Подставим выражение (4.12) в условие (4.11) и заменим
f 4.1] |
РА В Н О В ЕС Н Ы Е |
РА С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМ АХ |
163 |
хп согласно (4.14). После преобразований находим |
|
||
ехр |
+ 2 (41* |
+4^)х%+ |
|
п—1
+4“ 2 (4*’ —2ak4n+c4atiOW|_
1.К-1 J
|
- [42) + 2 (^г2) - Mn2)) Х{ |
+ |
||||
|
|
*- |
i=l |
|
|
|
|
и—l |
|
|
|
|
|
|
+ 4- S |
(4* —2ak4n + сЦОк^пп) «{**]} = |
||||
= Г 2 |
a, ( a f + |
4 - 2 |
SikM |
+ 21 { 2 «1 |
+ |
|
Ц=1 |
' |
fc=i |
' |
fc=i h=i |
L |
|
|
|
П |
|
|
|
|
|
+ 4- S |
(42 - |
M®)]} **] x |
|||
n |
|
p=i n |
|
n—l |
n |
|
x [2 ai («i11+ 4 “ 2 |
^»41>) + 2 |
{S °i № —«k«in + |
||||
4 = 1 |
' |
Jc=l |
' |
fc=l |
4=1 |
“ |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
+ ~2~ 2 ^iP (4 ^ — °*4n ) |
} *»! • (4.15) |
|||
|
|
P=1 |
|
|
|
|
В одной части равенства здесь экспонента от квадратичной формы, в другой части — дробно-линейная функция. Это равенство может выполняться тождественно, только если
обе части постоянны и при |
равны единице, т. е. |
4>1} + 2 (41} —Mn1*)* i +
i=i
п—1
+4- 2 (4V —2ай4п +Щв-кАпп) XiXk =
1,(С=1 |
(4.16) |
п—1 |
=4 + 2 (4°—ai^n2)) X i +
i*=l
п—1
Н---2~ 2 (4 ? — 2а*Л{п + aiak^ni) Х{Хк,
1,1с=1
6*