Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

164

РА В Н О В ЕС Н Ы Е Р А С П Р Е Д Е Л Е Н И Я в СИСТЕМАХ 1гл. IV

л —1

п

2 ®i

~Y 2

+

2

{ 2 °{ [aiV — aKain+

п

p{ l —а*^)]]х к

+4" 2 S i p

( A

=

р=I

— 2

a i (a i2) +

2

SikA^\ +

(4.16)

1= 1

V

k = l

'

+

2

{ 2

a i [

—

a fc«in +

Jc=l 4=1

L

n

+

—

2

S ip (-^pfr — afc-4pn) J x k-

P=1

Координаты Xi, . .

x„_x на гиперплоскости являются не

зависимыми, и из соотношений (4.16) следует:

4*> =

4 2),

1

А1? — М (п1} = 4 2) — щА(п \

I

4 * — aл4 п — сц4& +

=

j

=

4 k

—

а * 4 п —- сцА\п +

щакА(п1, J

166

РА В Н О В ЕС Н Ы Е РА С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМАХ [ГЛ . IV

где

— алгебраическое дополнение элемента к-й стро­

2

Ш

+ 2

SpqA ^

=

- 2 а ^ 4 1 ,

(4.21)

Р=1 '

9=1

'

Р=1

i

= 1, 2,

. . .,

п.

Решая эти уравнения, определяем

Верхнее уравне­

ние (4.13)

после подстановки найденных А {$ , А ^

должно

циенты

(v)

ant = aih одинаковы в полупространствах, а вели­

чины

различны для рассматриваемых полупространств.

Из третьей группы уравнений (4.13) или соотношений

(4.19),

(4.20)

видно, что в данном случае коэффициенты

А $ — A ik

одинаковы для обоих полупространств и

удовлетворяется тождественно.

Таким

образом, для ре­

лейных систем условия существования

кусочно-нормаль­

ного равновесного

распредения

принимают вид

2

i^ip^PH ~t~ ®/cP^Pi) — S[^,

J>=1

Л1

.

MK

M к —

'w«l

2 ( a Pi “Ь2 Sp<lA qi \ A ®*——2 a ^ A p i ,

(4.22)

P=1

9=1

P=1

n

П

2

\aVi +

2 З-РЯ-Адг) A $ — — 2 aP^Api,

p= 1 '

9=1

P=1

§ 4.1]

РА В Н О В ЕС Н Ы Е РА С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМАХ

167

2

ар (арг) + 4 “ S

‘SpHe0) =

p = l

'

g—1

n

n

[ (4.22)

P=1

'

9=1

1

i =

1, 2, ... ,ra— 1.

Иную форму условия существования имеют для систем

с переменной структурой

(СПС) вида (4.4), у которых

a|v)

= 0. Из выражений (4.21) видно, что для таких систем,

вообще

говоря, Лр* = 0,

т.

е. равновесное

кусочно-нор­

с одной гиперплоскостью

переключения

имеют вид

П

+ < м§) = sa,

S

р=»1

п

Л*/

I

— ‘S’Hr»

Р =1

рк

“Т

м и

м,ы

ла>=-

А V =

(1)

( 2)

МУ Г

1 М У Г

i,k = 1,2,... ,п,

(4.23)

МУ — а кА $

— а, Л (сп + сцакЛ<& =

п

=

Л|й— акЛ{п — сцЛto + а4акЛпп,

п

S °9

L

— a kaqn + ~2~ S

Spq (Лрк — а,7сл рп,

Л .1

m .

9=1

Р =1

г>1

— 2®9 Г®9Л — &ka qn Н---2 ^Р? (ЛрЛ — а/сЛрп)1 ,

9=1

L

р =1

1

168

РА В Н О В ЕС Н Ы Е РА С П Р Е Д Е Л Е Н И Я В СИСТЕМАХ

[ГЛ .

IV

1. Релейная система второго порядка описывается

уравнениями

^1 Ч- а 11%1 Ч~ 0,1 2 X2 =

-- tt]1^ Ч~ Sl>

&2 Ч- ^21^1 Ч- ^22^1 =

— ^2

при а д + х2>

О,

4“ О ^ Х 2 —- ai^Ч- Si)

^

^

&1 Ч~

it2

&21^1 “Н^22^2 =

( 2 )

®2

п р и а хх ± 'h ^2 <С 0 .

]

® 2 т ^ н Ч- (® п Ч~ а гг) М 12 Ч" О1 2 М 2 2 = О,

(4.25)

02\М\2 Ч" О22М 22 — 0.

Ац —

<211 Ь Я22

__ __о (ац +

яга) Д22

Sn ’

S цЯ 21 ’

А22 — — 2

(яцягг Ч- “22— awa2i) («и + <

(4.26)

*Упа21

Уравнения для Лр1’, Ар}

(см. (4.22))

в

данном случав

имеют

вид

(ап Ч-

“^цЧц) Ч]Х) + 02iA ^

— — о(^ А 1Х— a,2^Ai2,

(®12 Ч"

^ П ^ г )

Ч~ 0-22^ 2 ^ — — ®1 ^-<4l2

®2 ^ 2 2 »

(ап Ч” *^п^4ц) А ^ Ч-

(4.27)

— — Оъ*Ан —а2^ 12»

(а 12 Ч~ ^ п ^ г г )

Ч-

— а 2 ^ 22- ,