Файл: Красовский, А. А. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.pdf

Скачать файл (6,69Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 80

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

§ 1.2] СВО БО Д Н О Е Д В И Ж Е Н И Е 31

атомов в кристаллической решетке, то этому минимуму соответствует максимум плотности вероятности равновес

ного распределения (1.48).			аргумента,	то единст
Если	'F — линейная функция
венным	возможным	видом стационарного равновесного
распределения (1.48)		является
р = expj—		^ (х ? + у? + z?) +		f/]\|,
где		К = const >	0.

При определенном значении К это распределение совпа

дает с известным в статистической физике распределением Гиббса [1.14].

4. Единственным относительно общим классом систем, для которых можно указать полную совокупность первых интегралов, являются линейные системы

xi -f- 2	aikxk — 0,
k= i
или		(1.49)
х -f- ах — 0,		(1.49)
где а = I aih \ — квадратная матрица		коэффициентов,
зависящих в общем случае	от времени,	х — вектор (мат,

рица-столбец). Фундаментальная матрица системы (1.49)


w (t , t') =	\|\|u>jh (г, $')\|,	которую	мы часто будем называть
матрицей	весовых функций,		удовлетворяет уравнению
-jjj- w (МО +		aw (*» О — 0, w(t',t') — 1,		(1.50)

где 1 — единичная матрица.

Заметим, что под матрицей весовых функций часто по нимается матрица, удовлетворяющая (1.50) при t^> t' и равная нулю при t < .t'. Мы, однако, будем называть

фундаментальной матрицей весовых функций просто фун даментальное решение линейной системы уравнений,

удовлетворяющее	(1.50), без дополнительного условия
w (t, t') = 0 при t	< .? .

Общее решение уравнения (1.49) имеет вид

х (t) = w (t, t') x(t'),

32	У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е Р А — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА [ГЛ . I
ИЛИ	x(t)	— w (t, 0) ж0,	(1.51)

где	х° = х (0) — вектор	начального состояния	системы.

Заметим, что согласно известному свойству линейных си стем

w (0, t)	w (t, 0) = w (t, 0)		w (0, t) = 1 .
Умножая (1.51)	слева на w (0,	t), получаем
	w (0, t)x — x°.				(1-52)
Это соотношение в скалярной форме имеет				вид
П
2 Щк (0, t)xk = x°i,		i =	1 , 2, . . . ,	re,	(1.53)
(c=l

и представляет собой полную систему первых интегралов линейной системы (1.49). Действительно, число этих пер вых интегралов равно ге и они линейно независимы, так как фундаментальная матрица является неособой.

Согласно (1.53) и предыдущему общее текущее распре деление вероятностей для свободного движения линейной

системы выражается формулой
		П				П
р =	exp jV	Г 2	wll((0,t)xk, • . . ,			2	wnk(0,t)xk '\ +
	L	Lk=i				Jr=i		J
								I n
								+ 5 S	akkdt }•
								о k=i	J
Для	начального			момента	времени		t — 0	отсюда	следует
р (хи ..., х п,			0)	= р° (хи	...,	х п)	= ехр	№ (хи ..., жп)].

Таким образом, ехр У = р° и общая формула плотности

вероятности в фазовом пространстве линейной системы без шумов имеет вид

t п	п	п
p = exp(jj 2	a№<ttJP9[ 2	и>1*(0,t)xk, . . . , 2	wnk(0, t)xk 1 .
'o A=i	A LJ[=1	k=i	J
			(1.54)

Легко проверить, что условие нормировки, справедливое для при р = 0, удовлетворяется при любом t. Плотность

1.2]

СВ О БО Д Н О Е Д В И Ж Е Н И Е

вероятности в начале координат (центре фазового прост ранства) согласно (1.54) равна

t	П
р ( 0 , . . . , 0, 0 = ехр {{	2	andt ) р° (0, . . . , 0) (1.55)
'о к=1		'

и остается неизменной с течением времени только для си

стем, у которых

2 акк —„о

/с=1

(обобщенные консервативные линейные системы). Заме тим, что согласно (1.19) для линейной системы без шумов

Н — 2 &кк

к=1

< п

$ 2 ^ = я ( 0) - я ( о .

О*=I

Таким образом, множитель в формуле (1.54) выражается через приращение общей энтропии системы

р = ехр [Я (0) — Я (<)] р°\ 2 wn (0, t) хк, . . . ,	2	Wnk (0. 0 щ ]
Lk = l	k = i	J
		(1.56)
И
Д ( 0 = Я ( +	.	(1.57)

Распределение свободного движения линейной системы, \ как видим, получается из начального распределения не- ) особым линейным преобразованием координат и облада- / ет определенным консерватизмом: нормальное начальное ^ распределение дает нормальное текущее распределение, ■ равномерное во всем фазовом пространстве начальное рас- I пределение (в этом случае р° =^= const — бесконечно малая

величина) дает такое же распределение.

Если, однако, начальное распределение является равно мерным в ограниченной области фазового пространства,

2 А. А. Красовекяй

3 i У РА В Н Е Н И Е Ф О К К Е РА — П Л А Н К А — КОЛМ ОГОРОВА [ГЛ . I

то текущее распределение является равномерным в обла сти, получающейся из исходной линейным неособым пре образованием координат. Для устойчивой исходной сис темы, для которой все функции wik{t, 0) стремятся к нулю при t оо, текущая область равномерного распределе ния при t -*■ оо стягивается к началу координат, для не

устойчивой системы — расширяется. Это относится также к поверхностям заданной плотности вероятности р (хи ...

....,	х п, t) =	const для произвольного случая.
I	Конечно,	эти результаты для свободного движения ли-

'|нейной системы можно получить просто прямым рассмот- | рением фазовых траекторий, однако для нелинейных ои- { стем это затруднено или невозможно.

Г Л А В А II

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

ФОККЕРА — ПЛАНКА — КОЛМОГОРОВА

МЕТОДОМ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ. РАВНОВЕСНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Прямое численное интегрирование ФПК-уравнения, как и любого уравнения в частных производных, для за дач высокой размерности затруднено. Это отмечается во многих работах, например в [2.1], [2.2]. Для иллюстра ции трудностей численного интегрирования уравнения

др_	дх.г (р/д		д2р	= О	(2 . 1)
dt		- г S	дх^дх^	= О	(2 . 1)
dt		- г S	дх^дх^
		г, 3=1

рассмотрим способ замены частных производных по фазо вым координатам разностями дискретных значений функ ций.

Предположим, что рассматриваемая область фазового пространства представляет собой прямоугольный парал лелепипед

I	I	Li
и вместо координат х {	введены целочисленные коор
динаты
(v4=	— D, . . . , 0 , 1 , . . . ,D),

где D — целое число. Это означает, что функции р (хг, ...

..., х п, t), ft (хи ..., х п, t) рассматриваются только в конечном числе точек, а именно в (2D + 1)" точках фазового про странства. Значения функций р, / г в этих точках обоз

начим

/Ч> •••>

Pi, V j , чп

Заменяя частные производные ^ ( р , fi) первыми разно-

:ю

РЕ Ш Е Н И Е Ф П К -У РА В Н Е Н И Я

£ГЛ. II

д2р

стями, а частные производные лх ях вторыми разностя- i i

ми, вместо (2.1 ) записываем

.... vn		D		Vi	vi	vi	vn
.... vn		L.		^ (Р*'.....	vi	vi	vn
			1 i=i
				Pv>....vi-l....................		vi-l.....
1	2	'VT		^ij		•>, ........ vn - P
~2 ~ D *		2 l		L ] ~ ( P 'l	...................	•>, ........ vn - P	v l,...,v i _ 1........	Vj-........	vn —

i,j=l		1 3
Pvt....	vi.....	V l' - ,vn +	Pv‘..........................	vr) = O’ (2-2)
Начальные	значения рь.....		v при t =	0 определяются на

чальным распределением вероятности и известны. Таким образом, численное интегрирование уравнения (2 .1 ) сво дится к интегрированию системы (2D + 1)п обыкновен

ных линейных дифференциальных уравнений (2.2). Для получения необходимой точности число целочисленных значений D редко может быть взятым меньше 5. При 2D + + 1 = 11 порядок системы уравнений (2 .2) равен 1 1 п.

Если считать, что на современных достаточно мощных ЭВМ можно интегрировать системы уравнений порядка тысячи и несколько более, то приходим к выводу, что пу тем прямого численного интегрирования ФПК-уравне- ния можно решать задачи размерности не выше трех (п= 3).

Для объектов с аналитическими характеристиками, ко торые могут быть выражены конечными или бесконечны ми степенными рядами, в работах [2.3], [2.4] нами пред ложен метод решения ФПК-уравнения с помощью степен ных рядов. В данной главе излагается и развивается этот метод.

§ 2.1. Формализм метода рядов

Пусть функции fi исходной системы уравнений (1.1)

являются аналитическими, т. е. выражаются полиномами или бесконечными степенными рядами

п п п