Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

Откуда следует

соотношение (6.16)

для периода

Т

т - г1

(6.Г6)

Через

и

обозначены амплитудные

значения

перемеще­

ний

для данного периодического движения,

т . е . координаты

точек,

где

соответствующая

этому движению замкнутая

траекто­

рия на фазовой плоскости пересекается с осью

^

. В

указан­

ных точках

их ординаты

у

должны равняться

нулю и там

ско­

рость

у

меняет свой

знак. Следовательно,

и

Ь

явля­

ются нулями подкоренного выражения из правой части

( 6 .1 4 ) . Это

второе

условие (кроме того ,

что в

(6 .1 4 )

перед

корнем два

зна­

к а ),

необходимое

для существования периодического

движения.

Ясно

при ЭТОМ,

ЧТО нули

и

должны быть простыми,

так

как в противном случае несобственный интеграл

(6 .1 6 )

будет рас­

ходящимся и Т -

бесконечно

большим. Такое

положение

имеется

для

сепаратрисы,

проходящей

через

седло,

где

хотя

бы один из

нулей

или

^ г будет

кратным

[ 3 1 ,

33 ] .

Это

значит,

что

рисы, то она не может достичь седловую точку за конечный

про­

межуток времени.

Если

же изображающая точка

в начальный момент

находится всед ловой

точке, то обязательно

выйдя из нее,

не мо­

жет возвратиться

или попасть в другую седловую

точку

за

ко­

нечный интервал

времени. Это так называемое

лимитационное

дви­

жение. Таким образом,

в с ё ’ возможныё состояния

рассматриваемой

системы следующие. Периодические движения с

конечным

периодом

мент времени изображающая точка находится на сепаратрисе,

что

практически не может быть и з -за неизбежных флуктуаций

этих

и неустойчивые

типа

седла. В отдельных случаях две

точки

типа

седла

и центра

могут слиться, где равновесие также неустойчи­

вое.

Такова

общая

качественная картина движения гр уза,

при­

крепленного к

полюсу куполообразной оболочки, если

предполо­

ется

уравнением ти п а'( 6 . I I ) .

Рассмотрим систему, описываемую

уравнением

( 6 .9 ) , кото­

рая

неразрешима относительно старшей

производной

на изучаемом

интервала изменения

перемещения ^ . В

этом случае статичес­

кая характеристика

оболочки, нагруженная

в полюсе силой Р ,

воляет решить уравнение

( 6 .9 ) в явном виде

относительно

Р;

на интервале, где функция

Р ( 4 ) неоднозначна. На рис.

2 ка­

чественно

изображена

подобная кривая. Интервалы

неоднозначно­

сти Р( $ ) здесь

^

и 4 ^ 4 ^ 4 <5 •

Не исклю­

чено,

что

у

характери­

стики

: существуют

также

■"V

отдельные

замкнутые

пет­

п

| >

< f

*

ли,кроме непрерывной кри­

г >

вой типа,

изображенной на

7

7

рис.

2. Точками

Я , В ,

Г

5сг (о

С ,U ,

Е , F и в

отмечены

состояния

рав­

Р и с .

2.

новесия,

которые

могут

быть

у оболочки,

харак-

сом Q . Допустим, что оболочка находится

в состоянии,соответ­

ствующем точке Я

,

абсцисса

которой

обозначена

через

tcT

•

Оболочка выведена

в

начальный

момент

времени из этого

состоя­

ния равновесия заданием грузу

начального

отклонения

(О) и

начальной скорости

Ц(О) ~ у ( 0 ) .

Рассмотрим поведение этой

автономной

системы

с одной

сте ­

пенью свободы, вновь используя

фазовую плоскость,

качественно

изображенную на рис.

3 .

Через

<fc r

здесь

отмечены _

точки,

соответ­

ствующие

состояниям равновеоия.

Вое они являются особыми точ­

ками независимо от того,

находятся

ли

на

интервале

одно­

значности функций

Р (^ )

или нет. Легко

увидеть,

что

имеет ме­

сто

тождество

d y

=

у

(6 .1 7 )

a t;

у

с/У

Так как в

состоянии равновесия у —О

и у =

О

, т о

d f

•не

определена и, следовательно здесь имеется особая

Удоб­

точка».

нее всего изучить в данном случае поведение траекторий на

фа­

зовой

плоскости

с

помощью

графических методов построения поля

направлений на

этой

плоскости,

так

как

уравнение

колебаний

ко графическое представление характеристики на рис. 2 .

Итак,

пусть ^(0) >0.

Тогда

ордината Рн

точки

Н

'Ха­

рактеристики, абсциоса которой ЪстЧЮ)

(см . рис.

2)

позво­

лит определить ускорение у (О)

груза

в начальный момент

вре­

мени, так как в соответствие о уравнениями (6 .9 )

и ( 6 .1 0 ) ,

име­

ем

Рн = Q -Sy(o).

£6 .1 8 )

Отсюда используя (6 .1 7 )

и учитывая,

что. у (О) задан,,

получим

направление

элемента касательной

к фазовой траектории при Ъ -0 7

который, для примера, показан на рис. 3 . Взяв на

этом: элементе

новую точку, близкую к начальной, найдем сначала

у

и

^

в

этой точке, и посла на характеристике (рис. 2) -

ординату точ—.

ки, соответствующую этому значению

^

. После этого

по форму­

лам типа (6 .1 8 ) и (6 .1 7 )

находим новое направление элемента ка­

сательной (см . рис. 3) и т .д . Таким” образом""можно

построить

всю фазовую траекторию

до

момента

проникновёния

в область

фазовой плоскости, ограниченной вертикальными прямыми

и 2^ —

• Внутри

этой

области

каждой

точке

о

абсциссой

7 /< ^ <

будет на

характеристике

соответствовать

уже

не

одна точка,

а целых

три

и поэтому в

каждой такой

точке

будут

они ограничены вертикальными линиями

т& 4 з

,

4 *

и *»£ )

сплошь

(компактно) заполнены особыми точками,

из которых толь­

ко конечное число является точками

равновеоия

(в

случае,изоб­

раженном на рис. 3 , - их д в а ). Обнаружено

совершенно новое для -

консервативных

автономных

сиотем

явление, которое

“не

может

иметь место

для

сиотем, описываемых уравнением типа

( 6 . П ).У п о ­

минание об этом

явлении в

литературе

не

найдено.

В

известном

справочнике

[ 3 4 ] отмечается только,

что

решения обыкновенного

дифференциального уравнения первого порядка, не

разрешаемого

относительно

старшей производной

могут

вести

себя

совершенно

иначе, чем в противном случае.

В

связи

с

этим возникает естественный вопрос:

по какой из

трех фазоьых траекторий

будет двигаться

изображающая точ ка ,ес­

ли она в данный момент

времени находится

в

какой-либо

особой

точке, цринадлежащей указанной выше особой области

фазовой

плоскости, т .е . каково

будет дальнейшее движение

системы. Оче­

видно, что на этот вопрос можно ответить,

только

выйдя.за рам­

ну степень свободы. Если при одном и том же

на характери­

стике есть Три или несколько различных значений

Р , то вов­

се не значит, что при этих Р

формы равновесия

оболочки

оди­

наковы. Это разные"Формы,'обладающие одним и тем же прогибом

Ц

лочки.

На-

ату

особенность

схематизации колебательной

систе­

мы при представлении ее как

системы с

одной степенью

свободы

обратил внимание академик Л.И.Мандельштам [З З ]

. В крайнем слу­

чае

можно

внести какое-то дополнительное:

предположение,

дополнительный критерий, выбирающий одну определенную

траек­

торию

в данной

особой точке нового

типа, что позволило бы кос­

венно

учесть

действительную

континуальность

рассматриваемой

колебательной системы. Однако и этот

путь означает,

что

факти­

чески мы выходим за пределы принятой

схематизации задачи с

од­

ной

степенью

свободы. Вне особых областей решение

однозначно

определяется

своим уравнением ( 6 . I I ) .

Такова общая

качествен­

ная картина

поведения данной

системы.

Очевидно, что

те

же

осо­

остаются в силе и в случае действия на груз

нестационарной

внешней нагрузки.

§ 2 .1 .

Теорема, симметрии в случае

осесимметричных

задач статики рассматриваемой теории. Некоторые свойства

•

симметричных систем.

О п р е д е л е н и е . Две деформированные формы

равно­

весия

оболочки

будем называть взаимно симметричными или просто

симметричными, если их меридианы

взаймна

симметричны

относи­

тельно плоскости ее плана.

Ясно,

что

если две

формы симметричны,

то имеет

место

со­

отношение

Wf + w 2 = - 2 w 0

или 9^+ 6 2 ^ - 2 6 0

( 0

^

1)

(1 .1 )

И обратно.

Из равенства ( I . I )

вытекает симметричность,

форм,

г если

W[ (1)= 0 .

Все величины, относящиеся к одной из пар .

симметричных

форм, снабдим индексом "

I " , а другие - индекоом

т2п .

Рассмотрим

необходимые условия

существования пары

сим­

метричных форм.

Пусть удовлетворяются

соотношения

( I . I ) , тогда,

'если

вычесть

из

уравнения

( I . I . I )

для

9f

,

такое

же

уравне­

ние для

вг

, то

получим

cjz ) = 0.

Отсюда

следует,

что

сиг-и>г = кр ,

(1 .3 )

где

к

-

произвольная константа.

Сложим уравнения

( I . I . 2 )

для

Q, и

в2

с Учетом (I.I).

ТРИШ__

Q, +

— A f #0). .

(1 .4 )