Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

Или отсюда, если

дополнительно учесть

(1 .3 )

Р

Р

- f - L(e0) =

j U l } p A , ( p ) d f i + a zf p A 2 ( p ) d p + P, + Рг +

+ P „ [ ( p - C 1) + Pi2 К р - С г ) ~ к р ( в , + в 0) } .

Таким образом, для

того, чтобы у формы равновесия б, ,

возни­

кающая вследствие

воздействия системы

внешних поперечных

сил,

состоящая из распределенной нагрузки

с интенсивностью Cj,t Ai(p),

редоточенной

кольцевой

нагрузки Ри

с радиусом

Си имелась

симметричная

форма равновесия

в2

(порожденная

нагрузками

q.zAz (р), Рг и Р12 с

радиусом

сг

)

.необходимо,

чтобы функция

в0(р) , определяющая

начальную форму оболочки, являлась

реше­

нием линейного дифференциального уравнения

(1 .5 )

при"“граничных

у сл о в и й при р - 0

и р~ 1

,

вытекающих из

второго соотноше­

ния ( I . I ) .

При этом константа

к

находится

из

граничных

ус­

ловий при р = 1

для и),(р)

и

и)г (р ),

если

учесть ( 1 .2 ) .

Лег­

ко доказать,' что указанные необходимые

условия являются

также

и достаточными.

Зафиксируем оболочку и вид нагружения,

т .е . геометричес­

кие параметры оболочки,характер ее опирания,

а также

парамет­

ры, определяющие тип нагрузки А(р)

и

с

и будем для

нее

рассматривать пары” симметричных форм равновесия.

Тогда

в

этих

условиях

к =0

(см..

(1 .2 ) )

и уравнение (1 .5 ) примет

вид

Р

L(9o)=j[fy1рЛ(р)</р+Р+Р1Цр-с)],

( 1 . 6 )

где конотанты

, Р

и Р,

находятся

из

q _ Я ч + У г .

р _ в h P 2 .

р _ р п + Р 12

(1 .7 )

у ~

2

’

2

’

1

2

Общее решение этого уравнения можно представить,

если

восполь­

зоваться

соотношением ( 1 ,2 ,2 )

тР

1 -c z+ 2 t n c

при p ^

c

( 1. 8 )

„

' - r - P

( / -

-1 г)(р2- С 2)+1~ p Z+ 2 ln p ПРИ P > c;0*D<1

Константа

Я

определяется

из

граничного условия

для

d0

при

р ~ 1 , которое вытекает

из

граничного условия

(1 .9 )

для

в ( р )

при р ~1

о учетом

( I . I ) .

А именно

Ы .в[(1)+ Щ (1) = ^

(1=1,2).

(1 .9 )

Отсюда, учитывая ( I . I ) ,

получим

<£в'0 (1) + Р в 0(1)=

f ,

f =

•

(1 .1 0 )

Следует

подчеркнуть,

что

Я

зависит

только

от

Q

,

и7

’

так как частные решения из ( 1 .8 ) ,

содержащие

Р

и

Р,

удов-

летворяют условию ( Г .9)

при

^ =■

0 .

этой

оболочки

опре-

деляется

равенством

1

Р

5

(„фа(рк/р=|+ f { ? /[ I(p -j)i(h A(V di )ds],lP-

о

L

о

о

о

C*+2CZ 1ПС)) -

1Ы 11

Если учесть условие( I . 10) для определения константы

Я,

то £ 0

можно представить

в

виде

£>о~

d o^r

Р0р

/ 0Р,

»

( I . I 2 )

где константы dL0

,

J30

,

уо

,

S0

определяются

сравнением

правых частей последних двух равенств.

Совершенно очевидно,

что

эти

константы зависят

только

от

характера

закрепления

данной

оболочки и действующих внешних по­

перечных

сил.

В

число

последних

входит

и внешний

(активный)

контурный

изгибающий момент,

определяемый

параметром

у

из

(1.9). Они не

зависят от граничных условий для

СО .

Уравнение

(1 .6 ) - ничто

иное как

уравнение

С.Жермен

для

осесимметричного

изгиба круглой ^линейной

пластины

под

дейст­

вием нагрузок

с

параметрами

-

(J, , - Р

и - Р , .

Исходя из изложенного,можно сформулировать следующую тео­

рему симметрии.

.

Т е о р е м а

с и м м е т р и и .

Необходимым и

доста­

точным

условием того , чтобы все

множество возможных

у

давг-

;ной оболочки форм равновесия

(образующихся при различных

зна­

чениях параметров (J,

, Р . ,

Pf

и

jj

внешних нагрузок)

состо­

яло

из пар симметричных форм является

удовлетворение

60(р)

(уравнению

( I . I I )

при граничных уоловиях

( 1 .1 0 ) .

Это означает, что если

удовлетворяются

условия

теоремы,

то для каждого решения уравнений ( I . I . T )

и,

(X '.ll2)г.

в i

и Ц

,

порождаемого нагрузками с параметрами

,

Р,

,

и

jj,

.су ­

ществует

симметричное решение, определяемое соотношениями

вг = ~ 2 в 0~ 9/ J

( I . I 3 )

которое образуется при действии нагрузок

с

параметрами

< h . Рг ,

P1Z

и

/е

, определенных соотношением

( I . I 2 ) .

Условимся

впредь

оболочки, для которых справедлива

теорема симметрии,

называть

"симметричными системами".

I

§ 2 . 2 .

Свойство

симметричных

систем

С в о й с т в о

I .

Для любой пары симметричных форм

име­

ют место соотношения: a)

( I . I 3 ) .

Это

означает,

в

частности,что

мембранные напряжения тождественны, б)

(2 .1 )

для прогибов

в

лю­

бой

точке

и, в частности,

в

центре ;

в )

(2 .2 ) для

кривизн.'

;

г )

( 2 .3 ) для

моментов и поперечных

сил ;

д )

( 2 .4 ) для горизонталь­

ных перемещений; а)

(2 .5 )

,

(2 .6 )

доя

энергий.

wi (p) +wz(p )s - 2 W 0(p);

$, + £г = - 2 й 0.

огл )

Первое из этих равенств -

одно

из

соотношений (1 . 1 ),

а

второе

получается

как следствие первого,

если

положить

р ~ 0 ,

x h (p)+x.rz (р) ~ - г х го ( р ) ~ - 2 в '0 (р)-,

в0 (Р)

( 2. 2 )

дСу,1(р )+ зе9 г (р ) = ~ 29€<р0 ( р ) ~ - 2 ~

------

Эти

соотношения

вытекают

из

( I . I . 7 )

и

(1 ,1 )

H r / ^ + M j . ^ ) s - £ M r / / ) ) = - 2 [ * : r

(p )+ r U d tv C p ) ] ;

у '

V

9

У

7

р

_

Qf(p)+ Q2(p)=2jfpA(p)Ap + 2 j

+2 ~1(р~с).

(2.3)

о

Равенства (2 .3 )

получены как

следствие

( I . I . I O ) , ( I . I . T I )

и

Ц Л ) .

и 1( р ) = и г (р)

(2 .4 )

(см.

( I . I . 12) и

( I . I . I 3 ) .

где

ицо

имеет формально тот же самый вид,

что и

UUf

или Уиг,

но с

индексом

"О"1 (см.

( 1 .1 . 1 8 ) ) .( 2 .5 )

получается

из ( I . I . I 8 )

и ( 2 .2 ) .

Если известно первое решение из

пары симметричных,

то

потенциал

Vs

нагрузки для второго

решения может

быть

пред­

ставлен

в

следующем виде (см . I . I . I 9 )

с

учетом ( 2 .1 ) ,( 2 .3 )

и

( 2 .4 ) :

1

V2= 2 £ ^ 2jA (р )(2 W o+W ^pdp - L [2Mr o (1)+

о

+Мп (f))[2e0( l ) + e f (1)]-jj Nr,(1)<Jt(1) +

7 P 2 /r2 £ 0+ £ , ) + Pfz<?[2lV0 fC } +

W,(C) ] } .

(2 .6 )

С в о й с т в о

2 . Плаотина -

симметричная

система.

В

этом легко

убедиться, если учесть,

что

уравнение

(1 .6 )

имеет

тривиальное решение 0 О (р )^ 0 ,когда

Ц,

, Р

, Pf

и j(

равны

нулю. Это естественно, так как все множество решений

уравне­

ний для

пластины состоит из пар решений,

удовлетворяющих

у с -