Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

С в о й с т в о

2 . а ) Если все поперечные

нагрузки

не- j

изменны во

времени, с = c o n s t, и граничные

условия

стационарны]

то

могут

существовать

периодические по времени решения

W

и а) .!

б) То ле самое,

если граничные условия нестационарны, яв- j

ляясь

периодическими функциями

£

с

периодом

У.

W

и|

ой

имеют

тот же период

или период п у 7

где

п

- целое

чи­

сло.

в )

Функции

w

h

o

)

могут быть

также:

периодическимиj

с периодом

у

или

пу

,

если

поперечные

силы,

граничные ус­

ловия

и

С

являются

периодическими функциями по

£

с

од­

ним и тем же периодом или с различными,

но

кратными периодами,

из

которых

наибольший

У

» При этом, если

какая-либо

функ­

ция не зависит от времени, то она считается

периодической

о

произвольным периодом.

Все эти утверждения доказываются тем обстоятельством, что

замена во всех членах уравнений ( 6 . Г) и ( 6 .2 )

и

граничных у с­

ловий

£

на £ + у

не меняет их, бели все члены этих урав­

нений периодичны с периодом у

или от

£

не

зависят.

С в о й с т в о

£

3 . Если граничные условия

стационарны

и

внешние

нагрузки

от.

не

зависят,

то

граничная

задача

авто­

номна (в том смысле,

что время не входит в явном виде в

урав­

нения задачи и ее граничные условия) и поэтому

имеет.

место

следующее свойство автономных систем

( с м .,

например,

[ з о ]

).Ha-i

ряду

с решением

и) (fit £)

существуют и решения W(/0, £~

- £ о )

, o)(jo7T~£q ) ,

где

£0

— произвольное

действительное

число. Это

свойство

-

следствие

того ,

что

замена аргумента

£

яа£ + £q

не

меняет

на уравнений ( 6 .1 )

и

( 6 .2 )

или их .разно­

видности, ни граничные условия,

если

краевая задача

автонЬмна.

Это

означает,

что

можно начать решение

с произвольного момента

времени и от этого оно не изменяется,

если

сохранять

началь­

ные условия.

С в о й с т в о

4 .

Качественная

характеристика

собствен­

Пусть

сосредоточенный

груз

массы S *

прикреплен

к

по­

люсу осесимметричного купола. Обозначим

через

£

безразмер­

ное перемещение груза

(пмюса

оболочки),

тогда

уравнение

дви­

жения

может быть записано

F ( Q - S f,- $ ) = 0,

(6 .9 )

п *

а

^

-

S * q29

где

безразмерный вес груза

Q

<?= 2 frEh *

~ 2 ftE h*

9

F(P,1- )=0.

(6 .10)

Соотношение

(6 .1 0 ) есть

уравнение,

связывающее

величину

сосре­

доточенной

силы

Р

,

приложенной в полюсе оболочки и

прогиб

в той же точке при статическом

нагружении.

Тогда уравнение ди­

намики (6 .9 ) вытекает из

( 6 .1 0 ) ,

если

применить принцип

Да-

ламбера.

Р ~

Рассмотрим первый возможный

здесь

случай.

есть

однозначная функция

£

.

Тогда

(6 .9 )

примет

вид.

S 4

+ ‘/,( $ ) = Q .

( 6 . I I )

Р

бывает

однозначной

функцией

^

на всем

ш тервалё

его

изме­

нения далеко не всегда .

Это

имеет

место

для пластин,

оболочек

при малых

\~%0 \

( см»«

например,

[ з ]

, [l9 ]

и д р .) ,‘

а т а к -

же для пологих жестко защемленных сферических сегментов

даже

при достаточно

больших

(

? J

(см .

[ 2 l ]

).

Однако у

сферичес­

ких

оболочек, шарнирно

закрепленных по краям,

уже при средних

значениях

)4о1

порядка 10

Р

не является "однозначной

функ-

цией

[21J

и тогда

уравнение

динамики должно быть

пред­

ставлено в

виде

(6 .9 )

и

только

на отдельных

участках

(где

д F

знакопостоянна)

может иметь

вид

( 6 . I I ) .

•д-р' -

В

случае ( 6 . I I )

анализ

решений проводится

стандартными при­

пенью свободы на фазовой

плоскости (см .., например,

[ 3 l ]

) . По­

добные

исследования

в

случае оболочек, рассматриваемых

как

системы

с одной

степенью'свободаТ имеются в [ 2 , 32J .

Уравнение

( 6 . I I )

имеет интеграл энергии

y z

$ Т + П( Ъ ) = с ,

(6 *1 2 )

где у -

, П

) - потенциальная энергия системы с

одной

сте­

пенью свободы, определяемая по

n ( V

ssJ ^ ( V c/^ ~ ^ ‘

(блз)

вой плоскости,

т .е . точек,

отмечающих состояния

равновесия

( 2- =О , у = О

) , определяются соотношением

П'(Ц) = 0

или

(6 .1 4 )

Эти

особые

точки

изолированы и могут быть в

данном

слу­

чае только двух

типов

- центр или седло. Причем между

центра­

ми находится одно седло и поэтому число центров на

единицу

больше числа

седловых точек

[ 3 1 ]

. В отдельных

случаях

(для тех

значений

Р

,

где

~0 tв частности там ,где

Р

принимает

критические

at,

из седловых

точек

может

слить­

значения)

какая-либо

ся с одним из центров

[ 2 ,

3 2 ] .

Интегральные кривые,

прохо­

ми кривыми, которые разбивают фазовую плоскость на

различные

области, где интегральные кривые обладают разными

свойствами.

На рис. I

приведен пример такого

разбиения в случае

пяти осо­

бых точек

(состояний равновеоия).

Это точки

й ,

В , С , D

и £

. При этом

Й , С

и

£

- центры, а

в и

J

- седловые

точки.

Кривая

S

-

сепаратриса,

состоящая из

трех

замкнутых петель

(кривая

I ,

П

и Ш)

и

разбивающая фазовую

плоскость на четыре области.

Из них три

находятся

внутри

петель

I , П

и Ши четвертая

- вне сепаратрисы.

Каждая

из

первых

трех

областей, внутри которой находится

по одному центру, заполнена

континуумом замкнутых траекторий, обходящих этот центр.

Любая

подобная траектория

изображает

какое-то

колебательное (перио-

дическое) движение около соответствующего центра. Выбор

кон­

кретной траектории определяется начальными условиями

У (О)

и

О),

которые являются координатами

изображающей точки

на

данной траектории в начальный момент времени. Дальнейшее

дви­

жение изображающей точки будет происходить по

траектории,,

на-

которой находится

точка с координатами у(О)

и ^(0) ,

Стрелка­

ми на рис. I

указано

направление движения

изображающей

точки

по траектории. Таким образом, если изображающая точка

на фазо­

вой плоскости находится в какой-то момент времени внутри

ка­

кой-либо из областей,

внешний контур

которой

-

одна,

из

петель

сепаратрисы

5

,

то

соответствующее

движение

груза

есть

ко­

лебательное около

центра данной петли.

Если же

изображающая

точка в какой-либо момент времени находится в области вне

се­

паратрисы, то движение будет также колебательным, но

около

всех центров,

так

как фазовые траектории,

заполняющие

данную

область, будучи замкнутыми, охватывают все особые точки.

При

этом

ни одна

из траекторий

не может

пересечь

оепаратриоу,~~т.е.

ни одно" "~из

движений "" около

одного центра

не может

пере­

ходить

в

движение

вокруг

нескольких

ббобых

точек.

(Через

каждую точку фазовой плоскости за исключением седловой

может

проходить

только

одна

единственная

траектория,

что

есть

след­

ствие

единственности решения задачи

Коши

для

уравнения

типа

( 6 . II)}.Н ай д ем период

Т

периодических решений. С этой целью

запишем

интеграл

энергии (6 .1 2 )

в

виде

(6 .Г 4 )

Наличие двух знаков перед корнем показывает, в частности,

что

все интегральные кривые на фазовой плоскости должны быть

сим­

метричными относительно оси

^

. Кроме

того ,

наличие

этих

знаков

обуславливает возможность

существования

периодических

движений,

так

как

скорость

в последнем

случае

не может

быть

знакопостоянной.

Из- (6 ,1 4 ) получаем