Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

Это очень близко к значению,

полученному в

[2 7 ]

, и

примерно

в восемь раз меньше,

чем без

учета

изменяемости

h

в

процесг

се деформации. Все эти явления не могут быть выявлены в

гео ­

метрически

линейной постановке,

где

характеристика

-

это

пря- „

мая линия,,

уравнение

которой

0 = - 6 ^ . При этом

следует

обра­

тить

особое

внимание

на

то ,

что

та

же линейная

характеристика

получается и по приближенным уравнениям рассмотренных в

[ 4 2 ] ,

когда

в ( Г Л ) и ( I .2 >

of

и

А*

заменяются

на

оСа

и Г'д ,

т .

е ,

когда

отбрасываются

В

по

сравнению с единицей. Ясно, напри­

мер,

что для резин и полимерных

материалов

£

является доволь­

но большой величиной

в области

пропорциональности

[ 5 6 ]

.

По­

ное значение.,

так как

найденная

выше

величина критической

на­

грузки

может

оказаться

меньше предела

пропорциональности.Ес­

ли же

(}кр по формуле ( 5 .4 ) дает

напряжения выше предела:

про­

порциональности, то изученные явления

будут качественного

ха­

рактера и для

их количественной

оценки

необходимо вводить

фи­

перь вопрос

о потере устойчивости по

осесимметричным

формам

состояния,

определяемого соотношением

( 5 .2 ) . Применяя

для

этого

мой в [& 7 ]

г

и взяв за основное состояние

нелинейные

соотноше­

ния ( 5 . 2 ) , выведенные

без упрощенийдопускаемых в [ 5 7 ]

,

полу­

чим следующие уравнения,

для определения

критического

пара­

метра устойчивости

Y

:

+(з<"-0 6 г] + /[1 + б р С1+#) +

+3 (2^ V

~ О Ь'*+ ~ ^

i > 4} +

[2

)+

+ (4<и 2+<и - 3 ) £ 2] + (f +<и 2') [ м г~С1~<“ 2')6 г] ~Of

(5 .5 )

где

^ =(1+^1 В ;

t=12fz

Величины наименьшего положительного корня этого уравнения

при­

ведены в табл..

2 при

£т=о,3 • Значения критической нагрузки

по уравнению (5 .5 )

практически совпадают

с числовыми данными,

полученными

по

классической

'формуле

Цолли-.Чейбензона

^21Е ^

Т а б л и ц а

2

_6i

i

5.

10

20

30

40

50

iooo

X 0.064I6I 0JD2772I 0.019447 0.013673 0.0П136 0.0096308 0^00860491

(при £ 1 -0 ,5

) .

Однако наши значения немного

превышают

клас­

сические,

что

также

обнаружено в

[ э з ]

. Так

например,

при

Ь -

= 10000

имеем классическое

■—= 0£Ю1452,апо нашим даншм 0Д)1479 ;

при Ь2

=

40000 классическое.

= 0,000^ 63,

а

у

нас 0 .0 0 0 3 6 6 .

Эта разница монотонно убывает о ростом

.

Таким

образом,

можно считать

доказанным,

что учет геометрической

нелинейности

практически

не меняет классическое критическое напряжение1.

Как

показано

в [57^

и

[ б г ] ,

исследование

потери

устойчивости

ос­

сравнению

с осесимметричным случаем не дает.

В заключение отметим, что наряду

с

решением ( 5 .1 ) ,

когда

Ф ~ Ф 0 ,

уравнения

( 1 ,1 ) ,

(1 .2 ) и

(1 .9 )

допускают и решение,ос­

нованное

на равенстве

Ф = —Ф0 -

Характеристика для этого случая приведена

на рис.

10

в ви­

де

двух ветвей , проведенных штриховыми линиями.

Это

означает,

что

оболочка вывернута

наподобие рукава,

. наизнанку, и при

этом

£ >

О действует изнутри вывернутой таким образом оболочки.

По­

добное решение в упрощенном виде, когда принимается £

< < :/

(при

этом характеристика

есть прямая линия) получено

также

в

[58J .

б) Задача о вывороте круговой цилиндрической оболочки

под

действием распределенной по периметру торцов

равномерной

мо-

ментной нагрузки.

Если ось цилиндра совпадает с осью Z-TO&, то для

данной

задачи можно применить

уравнения ( I . I ) ,

(1 .2 )

и ( 1 .9 ) .

Тогда.

<P0 = J

>

§ = z o 7

=

(5*6)

Легко убедиться непосредственной подстановкой,

что при

соблю­

дении (5 .6 ) уравнения

( I . I ) , (1 .2 )

и

(1 .9 ) обладают

следующим

решением:

ft

d = w ^ o j

-

£ ffs O;

<*

= /;

;

r =

r0 ;

V s t f

j

«

2

kje=0 ',

k g - jr i Mje = const. ; Me = const.

(5 -7 )

Это состояние

представляет собой

случай

выворота

оболочки на­

изнанку,

как

рукав. Для этого надо прикладывать к

торцам

дан­

ной оболочки

моментнуго нагрузку с

интенсивностью

—'const.

Замечательно, что решение ( 5 .7 ) не зависит от свойств

ма­

териала и от

соотношений, связывающих моменты и усилия б

ком­

понентами

деформаций.

Если

эти

соотношения взяты в

форме

( 1 ,1 3 ) ,

то

Подобная

задача рассмотрена

методами сопротивления материалов

в [ 4 1 ] .

в Реформация бесконечно

длинного кругового

цилиндра ради­

уса

Ra

под действием

поперечного гидростатического

давле­

ния

£

Эта

задача о деформации

замкнутого кольца,

отличающаяся

от

случая

цилиндра тем,

что нужно заменить E J

на I?

, Поэто­

арки ( 2 .1 ) и ( 2 .2 ) .

Легко

проверить, что

рассматриваемая задача имеет

следую­

щее решение:

Ф ~ Ф 0 ^ § , N ~ ~ q R a c o n s t, ы = R =i c o n s t .

М ~ Const

j Q ~0 ; £ = c o n st

} r -• R s in ^ >

V = - r < { ;

- j

-

c o n st.

(

5

,

8

).

В случае

линейно

упругого

материала

получаем

соотношения

типа

( 5 .2 )

£ = -

J L

> 1

м - JDe____

i &=

9# о

(5 .9 )

n s

RoO +z)

Eh

Это

решение

аналогично

рассмотренному ранее решению

задачи и

деформации цельной

сферы и поэтому эффекты,

обнаруженные

для

сферы,

переносятся

и на данный случай, за

исключением вопроса

об устойчивости

основного состояния при сжатии, который

тре­

бует

отдельного:

рассмотрения.

Отметим, что решение указанной задачи

не может быть полу­

чено

посредством

теории

гибких

стержней,

рассматриваемой

в

[^53 ] ,

так

как

там

отбрасывается

удлинение

средней линии.

г )

Чистый изгиб арки.

В

этом

случае

рн = р ^

О, на концах арки действуют

изги­

бающие' ее моменты М .

Рассмотрим случай

свободного

опирания,

когда в концевых сечениях стержня отсутствуют какие-либо

уси­

лия.' Тогда

уравнения

(2 .1 )

с

учетом граничных условий и соот­

ношений (1 .3 ) дадут решение

N B Q =V =H = Oj

М= Const.

(5 .1 0 )

В случае линейной упругости материала имеем

M - E J ~ ~ ~ Фо)

и

(P(S0)^a>0(s0) - !fjS 0 +C.

( 5 . 11)

aS0

с о

Константа

С

находится из условия закрепления арки. Так

на­

пример,

еоли оба

конца не имеют вертикальных перемещений

W

(для

горизонтальных

перемещений,

очевидно/ограничений не может |

бы ть), то уравнение

для

С имеет вытекающий из выражения для

1л/(Уо)

вид

J

°[sln

Ф(з0 ) -

sir? O f c f o ) ] d s0 - 0 }

(5 .1 2 )

L0

-

начальная

длина оси арки

W (Э0

S0

-

+J lsCn0(So)-S L n 0 o(So)\cfso.

(5 .1 3 )

О

Рассмотрим как пример случай круговой арки, являющейся

полу­

окружностью радиуса

R0 i (Lq ~

опирающейся на

горизон­