Файл: Шилькрут, Д. И. Вопросы качественной теории нелинейных оболочек.pdf

J

rfty)dp = p *

/ / > ,) .

0

j( p t) ФО и имеет

знак ц'(р) при

0< р

Откуда видно,

что

Таким образом

,

рр>р1 •

Если р>-

С л е д

с

т в

и

е

и з

с

в о

й с т в а

7 .

^ I , то этого

достаточно,

чтобы

р ( р )

бил всюду

знакопосто­

янным и тогда

г( (р)

будет также

постоянной, когда

выполня­

ются для нее условия справедливости свойства 4 .

Таким образом, знакопостоянство у"(р)

достаточно

для

знакопостоянства f ( p )

и ц(р)

(последнее при условиях свойст­

ва 4 ) .

8. На первом участке

О ^ р « р 1

С в о й с т в о

зна­

копостоянства

/

(р) ( р

- наименьший не равный нулю

нуль

функции f ( p )

)

функция

У](р)

обладает следующими свойе 1'яами:

а ) функция р ц'{р)- Ц(р)

также

знакопостоянна

на указанном уча­

равный

нулю

нуль функции

р ц '(р) -

у(р)

больше

р

;

б)

на том

же

интервале

монотонна и

знак

( -р~)'

совпадает

со

зна­

ком

f

; в )

если

Ч (О)

имеет тот же

знак,

что и

if(p]) ‘Иаш

равна нулю,

то на указанном участке

iу(р)

и

v'(p)

знакопо­

стоянны

и их знаки совпадают со знаком

f ( p ) .

Тогда

у(р) моно­

тонна

на том же участке;

г ) если в

какой-то

точке

р г

£,

р

функция

tf(p)

равна нулю или имеет

знак, противоположный

знаку

f ( p ) ,

то

1\(р)- знакопостоянная

на интервале

О ^ р ^ р г > и

ее

знак

противоположен знаку f( p )

на рассматриваемом

участке.

Первое

утверждение

сразу

вытекает

из ( 2 .2 5 ) ,

а

второе

из

( 2 .4 0 ) .

Третье

доказывается

точно так

же,

как и свойство 5 , и

на рассматриваемом участке ее знакопостоянства.

Так как <f(pt )£t

4 0

(условия

этого

утверждения),

то исходя из

( 2. 2 ) получим

7(ft)-

*

i

«

) / M**o.

J V £

о

откуда

следует,

что

р

Ч.

/ ( о ) ^

- - f

,

р

?

Л О a ^

j>

°

="y-[

+(p* ~-Щ**/(*м*1*0■

To же самое имеет место

и

для выражений

типа

( 2 .1 5 ) .

Таким

образом, данное свойство полностью доказано.

Отметим

еще

,

что утверждение

г )

справедливо)

и

когда

^'(ре) ^ 0 ,

так

как

при

этом

signy(pj = -

sign f

Ср)

,

что

следует

из

(2 .2 5 ) .

slop f(p}=

С в о й с т в о

9. На .любом подынтервале,

где

= al^n rj (p)

,

функция

PP(p) •*l(p) монотонно возр астает,

a

у(р)~ монотонная функция.

рщ'(р)

Приведенное свойство функции

вытекает из

( 2 .1 7 ) ,

так как

правая

часть

(2 .1 7 )

положительна,

если

sig n j

=

sign 7 .

Доказательство

монотонности

7

будем вести

от

против­

ного. Предположим, что в

какой-гТо точке

р

из данного

подын­

тервала-

функция

7

имеет

экстремум,

тогда в

правой

окре­

стности

точки

р

должно быть

0

,

но

этого быть на

мо­

жет. В точке

р

= р

имеем

р^Р!/>-р ~ 0

и

ВВИДУ

возра­

стания последней в правой окрестности точки

получается,

что

Цу* >0

.

Возникшее

противоречие

и доказывает

монотонность

С в о й с т в о

1 0 . На любом подынтервала, на

концах

которого ^ принимает

нулевые значения, имеют места

неравен­

ства

^

^

0 ;

/у

1}'(р)

ъ

0 ■

J ? ( f ) f ( p ) dp

f ? (р)

р ~ f ( f ) dP

(2.4-3)

?о

Л

тождества(2 .27),

Первое доказываемое неравенство следует из

второе -

из

( 2 .2 9 ) .

Из

(2 .4 3 )

вытекает, в

частности,

что

если

f (р )

и

Ч(Р^

знакопостоянны на данном подынтервале,

то

-Signf(fl)=-stnу ? ( р ),

С в о й с т в о

I I . В

точке

0

-с р

^ 1,

где

7 (р)

имеет

положительный максимум

(отрицательный минимум) р ( р ) ^ 0

(>

0)

В самом

д ел е,в

точке

3

должно быть

; / ( р )= О ;

Р ‘(Ъ)

4

О

и

Ч(р) =-

0

.

Поэтому

L(/?(p)) = } ( р )^ Ь .

Г

С в о й с т в о

13

(сравнения). Сравним решения

Ц( {р )

и Цг (р)

уравнений

типа

( 2. 1) ,

правые

части которых

обозна­

чены

соответственно

через

f f (р)

я

/ 2 (р) .

Если : а ) /, (р)

> f z (р)

(&ft {p))\

б)

yf(p)

и ^ ftp) удов­

летворяют

одинаковым

граничным

условиям;

в )

х > - 1 ,

то

% (р)

~~ ?2

0

следовательно,

п,(0) ^

пг (О)

,

если |

только

п (1) = О .

Д

о

к а

з

а т е

л ь

с

т в о .

Рассматривая уравнение

(2 .4 7 )

’

(2 .4 7 )

можно для

разности

^,(р)~92(Р^ пРименить

свойство

4 ,

когда

ft= 0

(так

как

^

и

уг

удовлетворяют

одинаковым условиям).

Тогда

получим,

что

^ (р)

■£ tfz (p),Qcm

f f (р) > / 2 (р) ■Отсюда

и

вытекает

неравенство

n t(0)^ пг (0 ) (см .

( 2 .4 4 ) ) .

То же

самое

доказательство

применимо,

и когда

(p ) ^ fz (р ) .

С в о й с т в о

14 . Все доказанные выше свойства для ц(р)

без изменений

переносятся

на разность ц^(р)-

i^z(p)tecm

всюду

заменить f ( p )

на fr

(р ) - f 2(p)- Справедливость сказанного

сле­

дует

из

того ,

что

<7

-

q

удовлетворяет

уравнению

(2 .4 7 )

типа

(2. 1 ).

§ 1 .3 .

Некоторые свойства

решений уравнений

осесимметричных

статических деформаций пологих оболочек

Используя свойства решений уравнения ( 2 .1 ) ,

полученные

в

предыдущем параграфа,

можно установить

ряд

полезных

свойств

решений уравнений ( I . I ) и

( 1 .2 ) , не решая их,

Указанные свойства выявляют многие качественные

стороны

деформации, пологих оболочек, что весьма важно как для

про­

верки достоверности

получаемых на ЭВМ численных

результатов,

так и для формирования

понимания характерных

черт

поведения

йибких оболочек под нагрузкой.

С в о й с т в о

I. wo(p)

к

w (о ) являются

четными функ­

циями

р

.

Тогда б ( р ),ы ( р )

и

Q(f)

-

нечетные

функции,

а

&г . б? .

,

Л/г , Л/у

, и

„

£ л и

еу

-

четные функции р .

Действительно.

В

виду осесимметричности

оболочки

до

и

йбсле

деформации

w0(p) и

\ы(р)

являются

четными функциями р .

Тогда в0(р) и 9(р)

уже нечетные,

так как дифференцирование или

интегрирование

нечетное

число

раз

четных

функций дает

нечетные

функции, и наоборот. Тогда правая часть

уравнения

( I . I ) -

не­

четная функция. Поэтому,

как вытекает из свойства 3 ( § 1 .2 )

для 7(р ),

со (р)

также

нечетная.

Отсюда

следуют

все

осталь­

ные утверждения

этого свойства, если учесть, что

внешние

на­

грузки должны быть

четными функциями

р .

С в о й с т в о

2 .

а ) Если бп (р)=^уР

знакопостоянна и

со(р)

удовлетворяет

граничному условию

t o d ) - 0

(край

сво­

бодный)

или если

там

знакопеременна,

то

бу (р) = со '(ph

знакопеременная функция,

б) Если

-

знакопостоянна,то

также всюду

знакопостоянна и sign

=

signtfy.

Д о к а з а т е л ь с т в о .

Если

6Г знакопостоянна,то

и

со

знакопостоянна с тем же

знаком.

Но

co(Q) = Of

и

когда

(0(1)= 0,

со-

немонотонная функция.

Следовательно, существует

точка р - р

,

где

со'(р)=о

л

бу

тогда

знакопеременная ;

Если

же бЛ - знакопеременная функция,

то в

какой-то точке р = ~р

будет

to (р) = О, тогда внутри интервала^ 0 £ р

^ р )

а/примет

где-то нулевое значение.

Таким образом,

пункт

а )

рассматрива­

емого свойства доказан. При этом

следует

иметь в

виду,

что

знаки

бг

и

rf'j,

в окрестности точки

р

= 0

совпадают,

так

как

б'Л (0) = бу(0) = (О1(0).

что если to

(р)

Вторая часть свойства 2 вытекает из того ,

знакопостоянна, то со (р)

монотонна и знакопостоянна,

так

как

со (0)-0

•

Следовательно,

<$/*

также

знакопостоянна

и

имеет

тот

же знак,

что

и

ы'(р)

и <о(р) .

Совершенно ясно из

вышесказанного, что во всех

случаях,

когда

<о(р)

немонотонна,

6у

-

знакопеременная

функция*

но больше,

чем

указанных

в первом пункте

рассматриваёмого

свойства.

Значение

знакопеременности

бу

для

понимания по­

ведения рассматриваемых,

оболочек

под нагрузкой

показывает

еле™

дугощее_следствие.

С л е д с т в и е

и з

с в

о

й

с т в

а

2 .

Если

бу (р) > О

в случае свободного края

( со(1) = 0 )

, то

у края

обо­

лочки образуется сжатая зона в широтном направлении,

т .е . здесь

бу, ^ о , так

как со(р)

у

края

должна

быть

убывающей функцией.

6t

Наличие

сжатой в

широтном направлении краевой

зоны, когда

всюду растягивающее,

представляет

значительный

интерес,так

как

тогда

имеются

предпосылки потери устойчивости в

этой

зоне

с образованием

складок

(потеря

устойчивости

при

раотяжении).