Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf

«уму

/ о ( Х ) .

Остановимся неоколько подробнее на определении направле­

ния уоловного градиента. Линейное подпространство,

касатель­

ное к поверхности (7.1), обладает тем овойотзом, что любой

вектор

£

,

лежащий

в нем,

нормален

к любому из

градиентов

функций

J.^

в

точке

Х0

I

-

i,

2, . . .

v n

Будем

считать градиенты

^ .

линейно

независимыми, так

что

число уравнений

( 7 . 3 )

равно

Тп .

Так как нао интересует только направление наискорейшего

роста

j.0

,

нормируем вектор

£

•

потребовав,

чтобы

ft

"

'

1

Л )

Величина

пронвводной функции

Jc

по

направлению

t?

оп­

ределяется как скалярное произведение градиента

/ 0

на

век­

тор

i

_

Таким

образом,

необходимо

найти

такой

У\ -мерный вектор &%

который

доставляет

максимум

( 7 . 5 ) при

(W- )-OM условиях

( 7 . 3 )

и

( 7 . 4 ) .

Зто

задача

условного

экстремума,

облегченная

Z

тем

обстоятельством,

что выражения

( 7 . 5 ) и

1 7 . 3 )

линейны, а

( 7 . 4 )

квадратично

зависят

от

.

Таким

образом,

решение

Разобьем

П. составляющих вектора

У

на

гл.

)

свободных

У с

и

УЛ - зависимых

У 9 .

'Гак что

при

задан­

ных переменных первой группы,вторые могут быть определены

ив уравнений

(7 . 1) .

Запишем

функцию

Лагранжа

R - 1Л*) +24-A-W,

'

(7.6)

I -

'

содержащую

ТУ]

добавочных переменных

^//- .

Пусть

в

начальной

точке

У0

, как

и раньие,

удовлет­

ворялись

условия (7 . 1), а

значит

Q

(Ук

)

=

/ 0

(Х0).

Вдоль

поверхности

(7.1)

второе

слагаемое

в (7.6)

равно

кулю, а значит

градиент

V

R

вдоль

этой

поверхности равен

уоловноыу

градиенту

. Выберем

теперь

jf«

так,

чтобы

функция

R.

в

точке

^

не

зависела

от составляющих J<^

о Изо

-7,

Ъ**о

^ = 1. 2 , . . . l r w

вычисляем

составляющие

градиента

по

направлениям

^

5 5

I ,

2 . . . .

( Г \ . - Щ ) ) иQ

изменяем

каждую И8

них.

* г ^ У « / Х . »

( 7 ' 8 )

зованы в окрестности д(„

, и переменные d(s найдены из сис­

темы линейных уравнений

(19).

зависимые

составляющие

затрудняет решение.

В этом случае удобен алгоритм, изложенный ниже, где все

составляющие вектора -X

равноправны.

7;3.

Поиск седаовой

точки функции Лагранжа

[ 22 ]

Представление о решении задачи условного максимума как о

седаовой

точке функции

Лагранжа полезно не только потому, что

приводна

к возможности

вычислять оценку искомого

решения.

if

(7.14)

Rjfe^)

как оильяо в точке -X ,

*о_величина

показывает,

нарушены уравнения

связей.

Изменение и у/

стремятся

ввести точку поиска в допустимое мнряеотво.

Алгоритм

(7.12),

(7,10)

може? быть назван алгоритмом управ­

ления в децентрализованной

системе. Именно яакой

алгоритм мс-

пользоваяся гкономнотом, меняющим цены, и потребителем,

мак­

симизирующим на каждом шаге свою прибыль

X? .

Причем формула (7.IG) (правило действий экономиста)

никак

не 8азиоит от целевой функции потребителя

J-0 .

Пример;

Последние два ограничения определяют множество

V

Зададим

некоторое

tA0

= I

и,ооглаоно aarc ритму

(7.12),

(7.10)^ найдем

Х0

как точку

иаконмума

на V по

a tX5

каа иезависииыы переменный

Этот

аакоимум,

легко видеть, достигается в точке

(2.2).

Теперь,

вшбрав

а

0,1,

например, можно

оделать

шаг по

J

Ум

= I

+ 0,1

(23 -2) -

I -0,6 = 0,4