Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf

В9 В08М0МЫХ поотаноаок аадача раопредежеаяя

вагруаок между па рал*

ле льдами агрегатами. Такая задача (он, 8 I )

аакдвчадвсь i вы­

боре переменных - ^Si так, чтобы цадааад &гвходя

1

-SRC*).

Iх-!

бнжа махошелмая прв уолоаю

2L*bl ~ £

(5Л6)

?проотвм задачу, одалаз допущения о том, что фгахцяя Р ^ ^ ж -

пумы

в ва переменные

^

so положено накаках JOHOSSH, кроне

(5.16).

Такуа постановку

будем называть проохвйшев.

Необходимые уояовяя наковкуна

2

J L

„

2

А -

.,

j

. о

(5.18)

I

ш I ,

2, . . . Д

Таким образом,

мы получила

( п+1)-мо"" урамвим® (5.18),

(5.16)

для вычисления

(ft+I)-

og ивиаавотяой - онтвнадьвнх ва-*

грузок

и множителя

Награваа

jf'.

Уоловая [5.29

дока­

зывают,

что прн опгинальнов распределении

нагрузок

приросты

производительности

при малой изменении подачи сырья

4-i

йдзйй-

имеются ограничения

(х

)

^

о

/

е ^

X ^ ^ O j

Х.*-^!,

+

/ б . з /

Первоначально будем

считать,

что

функция J 0

(х)

выпукла,

а усло­

вия / 6 . 1 /

+

/6 . 3/

выделяют

выпуклое

множество. Последнее

означает,

что

-линейные

функции,

а

-выпуклые.

6.2. Теорема Куна-Таккера

Для того,

чтобы

значение

X*

вектора

X

было решением

пос­

тавленной

задачи, необходимо

и достаточно

существования

такого

вектора jj

с составляющими

и

^

,

что

функция

Лагранжа

£

-

/ 0

f

Z

4

4

*

Z'Jj

%

/8.4/

стационарна

по составлящим

в е к т о р а ,

не

ограниченным

условия­

ми /6.3/

g

Для ограниченных

составляющих

ъе/м^О

j

*4

*о.

/бтВ/

*%xk-s*

-

Ъ

4

~

°

/ 5 - 7 /

функции /

,

_ / и

/ /

предполагаются

непрерывно дифференцируемыми

Не будем приводить доказательства

этой

теоремы, ограничившись

лишь пояснением его узловых моментов.

Пусть

задача

о максимуме ^

содержит

лишь

ограничения типа

/6 . 2/ . Область, отвечающая этим

ограничениям /множество

Д / ,

на

рисунке 6.1

заштрихована.

На том же

рисунке

нанесены

ливни

равных; значений

максимизируемой

функции

J.

(X),

— *

Точка предполагаемого

ранения

X

обладает

тем свойством,

что любое перемещение иа нее

в

сторону увеличения

/ „

не

ДОЛЕ­

НО призеоти

в

облаоть J3,

иначе

з

t>

нашлась

бы точка

с

боль-

юн

значением

J0

,

которую

и следовало

бы

считать

решением.

Будем раоснатривать

множество

сравнения ^элементы

которого

рас ­

положены в (^-окрестности

«У, и

считать

все

функции

дваждн

дифференцируемыми. Выделим множество

Л

точек, для которыхJte£",

J0

( X

)

^> J0

( У * ) . Это нножеотво

лежит

по

одну

сторону

от каоательной,

проведенное

в

лвнян

разного

уровня

функции

-£с

i точке

X*

.

Точки

множества

Л,

принадлежащие

£

-рв-

рвстнооти

<Х*

,

должны

лежать

на этой

касательной

( р н о . 6 . 1 )

или по другую ее сторону

(рис.6.2

) . В первом

случае

градиенты

функций -/0 и

F\

совпадают,

так

как

они

нормальны

к

общей .

касательной,

и

v

/

o

-

'J,

vfi>

(б'8)

где

j/j

<с

0,

во

втором -градиент

функции

Jb

лежит

внугрв

угла, образованного градиентами f ,

и

, Последнее означа-,

вт, что этот вектор может быть представлен как сумма

причем

jf,

и

jfa

меньше

ну ля "и ли

Ч^чЬ^Р^+Лч^'0-

Условия

(6.8),

(6.8( а) как раз и доказывают

необходимость

существования

множителей

,

фигурирующих

в выражении

(6.6).

Совершенно

аналогично

доказывается

необходимость

существовав

;Иия множителей

у//

при

наличии

связей

(6 . 1) .

Так как задача выпукла, необходимые условия оказываются

достаточными.