Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 88
Скачиваний: 0
|
|
76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Верхняя грань функционала (8.12), а значит, и |
функционала |
(8.2) |
||||||||
равна ординате выпуклой оболочки CaJ^ |
(С) функции |
достижимости |
||||||||
при С = 0. Выпуклой оболочкой |
у |
(С) |
ыы называем |
границу выпуклой |
||||||
оболочки множества, лежащего под графиком J-*(c). |
Эта |
ордината |
|
|||||||
больше или меньше равна / * ( 0 ) |
( р и с . 8 . 3 ) . Если |
|
CoJ*(0)-J*fOh |
|||||||
то Р(С) |
= 2 (С), |
и задача 8.2 |
имеет |
то |
же решение, |
что и обычная |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tit- |
|
задача |
нелинейного |
программирования |
8.3 |
при С = 0. Функции^ |
(С) |
|||||
будем в этом случае называть нуль |
- |
выпуклой ( р и с . 8 . 3 , 6 ) . Если |
|
|||||||
Coj^b)>j/*(0}* |
т о » с о г л а с н о |
п.. |
2.3, |
решение 8адачи 8.8,а |
|
|||||
|
|
т |
|
|
|
|
|
|
|
|
Z
ПРИ
м
(8.5а)
Причем иг (8.13) следует
27 |
Л |
СК£ |
= ^ |
|
(8.13а) |
|
|
|
|
1= 1,2, ... , tr\ . |
|
Максимизируемое выражение (8.12) примет вид |
|
||||
5ир |
2!ft / |
CC*J |
(8.12а) |
||
Таким образом, |
задача оптимизации з среднем в постановке |
8.3,а |
|||
сводится к щонечномерной задаче с числом переменных (ГП+1)^, |
|||||
Требуется |
найти |
( Пг\+ I ) |
векторов С к размерности YY\ и |
(п\+ I ) |
|
скаляров |
^ |
. |
Залишеи функцию Лаграяжа для полученной |
задачи |
|
7 |
? |
|
гл. |
т. |
- |
Условия оптимальности |
о учетом ограничения на |
примут вид |
|
|
(8.18) |
Введя функцив |
•* |
|
можно переписать условия (8.18) в форме
причем |
при |
^ j t > 0 ' |
Н |
|
** Л. |
|
|
|
|
|
|||
8.4. |
Переход к |
конечномерной |
задаче |
можно проделать и |
без |
||||||||
решения |
семейотва |
задач |
8.3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Действительно, каждому из векторов Сд, чиоло которых не превы |
|||||||||||||
шает |
(ГП+1), |
соответствует |
вектор |
^ к |
, |
ввляющийоя |
реиениеа ва- |
||||||
дачи |
8.3, так |
что |
J. |
) |
» |
£ |
(^) |
j |
£ |
fa) |
. |
С к . |
|
Поэтому |
конечномерная задача |
8.3^ |
трансформируется |
в |
задачу |
||||||||
при
4П, + 1 |
' 0 |
|
2 \ J, &J |
с ю |
-i
|
|
|
78 |
|
|
|
|
|
|
8деоь |
|
требуется определить |
|
(ГП+I) |
вектор |
размерности |
|||
П |
и |
(ТП +1) |
скаляр |
tfK |
• Так |
что |
общее число переменных |
||
равно |
|
( m + I ) . ( U + I ) . Так |
как |
r t > m . . |
то |
такая "одноступен |
|||
чатая" процедура может оказаться не менее трудоемкой, чем по |
|||||||||
строение функции доотижимости |
|
|
о последующим |
решением |
|||||
8адвчи |
8.3а. Если |
$^.>0,хотя бы для двух |
значений К, |
то реше. |
|||||
яие задачи оптимизации в среднем можно себе представить, напримв|
как периодическую функцию, принимающую значение |
£fK |
в |
течение |
||||
доли |
от общего |
периода |
его иаменения. Такой |
режим будем |
|||
называть |
скользящим. |
|
|
|
|
|
|
Условия оптимальности для |
скользящего |
режима |
могут |
быть |
|||
получены |
совершено так |
же, как |
и условия |
(8.18а) |
|
|
|
Функция |
Н представляет собой функцию Лагранжа, составленную |
для задачи |
нелинейного программирования 8,3 . В точках 3 £ , меж |
ду которыми "скользит" решение, эта функция должна быть макси мальна и принимать одинаковое значение j t .
В ряде вадач выпуклая оболочка функции достижимости может быть построена беа определения самой функции J- (С) с помощью более простых алгоритмов, чем те, которые необходимы в задаче 8.3. Пример задачи такого рода приведен ниже. Практически целе сообразно ревать задачи 8.8, начиная с С=0. Вогнутость функции
J.(С) в окрестности нуля является достаточным условием
выполнения неравенства Со |
*(Oj^> J- |
а? следовательно, |
оптимальности скользящего режима.
79
Аналогичный подход может быть распространен и на случай ослаб ленных ограничений
В атом случае в задаче 8.3 добавится ограничение
а в задаче 8.Ца пдотнооть распределения |
будет аавноеть не толь |
|||
ко от |
С, но |
и от |
2 . Причем наряду о |
условиями (8.13} (8.14} |
будет |
иметь |
место |
неравенство |
|
Jг Р(с, -cjcft £ о
8.5.Другие постановки вадачи -
Задача 8.2 не исчерпывает вое варианты оптимизации в ореднам. Ниже приведены некоторые другие возможные постановки.
Задача |
8.5л |
|
|
|
|
Требуется найти уодовный макоимум функции от |
аре дне го значе |
||||
ния вектора |
у , |
|
|
|
|
|
|
. - |
- |
^ - |
(В.28) |
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(8.24) |
Уножеотво |
определено |
ограничениями наиектор |
|
||
Задача |
8.5р. |
|
|
|
|
Максимум среднего значения целевой функции при овя8й, нало- |
|||||
аенной |
на среднее значение |
аргумента: |
|
||