Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 97

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

 

 

 

 

 

 

 

92

 

 

 

 

 

 

 

 

 

слагаемое,

отлично

от значения,

максимизирующего

{I

- I ) - а .

 

Точность оценки, как и для нелинейного программирования,

тем больше,

чем меньше влияют зависимые составляющие на мак-

сш-'ум

/?•

по .свободным

составляющим.

 

 

 

 

 

 

 

Нижней, оценкой

решения

может

служить

величина

функционала

I

на любом допустимом решении. В частности,

неплохую

оценку

в

ряде

задач дает

управление,

получаемое

следующим

образом:

 

1 . Пусть

У0

задано. Ищут

максимум

J.o(Q}

, У 0 |

^ 0

)

по

'Uf,

; получают

 

К0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

По Уд

и

 

находят

. X .

из уравнения

связи,

а по

нему

аналогично

п.1

1^,

 

и т . д .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Управление

Цъ

 

оптимально лишь по отношению к первому

слагаемому

целевой

функции

X

без учета

влияния

его

через иsue

нения

состояния на остальные слагаемые.

 

 

 

 

 

 

 

Оценку оптимального значения функционала I снизу можно вы­

числить,

не

получая

решения. Для

этого,

задавшись

некоторой

функцией

 

, нужно подсчитать максимум каждого из слагаемых

 

функционала

S

по

свободным составляющим

и минимум по

зависимым составляющим. Так, для прямой формы связи нужно в

(10 . 3,а)

максимизировать

&^

по

К-с и минимизировать по

J^L-

Доказательство

этого

аналогично

п . 7 . 8 .

 

 

 

 

 

 

 

ц*.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[ 2 1

4

 

 

 

 

 

 

 

 

о)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 10 . I

99

§ I I . Необходимые условия оптимальности дискретных задач и следующие из них алгоритмы .

I I . I .

Условия

оптимальности,

полученные в предыдущем па­

раграфе,

приводят

к необходимости

раочета функции

) •

Б общем случае расчеты эти очень трудоемки, особенно сильно растет число вычислений и потребный объем памяти машины о ростом размерности вектора У. .

Ввиду этого желательно получить необходимые условия оптималь­ ности для задачи о максимуме функционала

а

J =Z7o ^ ; ^ A J

( П Л )

при

 

основанные

на сравнении

траектории,

подозрительной

на оптималь­

ность

(Х{

=

=

 

) ,

с траекториями,

близ­

кими к ней.

 

 

 

 

 

 

 

Нам не требуется

выводить

такие

условия. Нужно лишь приме­

нить к

нашей задаче

те условия, которые получены для общей

задачи нелинейного программирования в п. 5.2 и 6.3.

 

Рассмотрим первоначально

случай,

когда ограничений на

 

и VL( отсутствуют.

Образуем функционал

Лагранжа

S =Т+ 2МЛУ ' Ч Х ;

X

V

( п . 8 )

Из

необходимых условий оптимальности

для непрерывных и

дважды

дифференцируемых функций ^ и

следует,

что най­

ду ICRQ/ZC такие, что в точке предполагаемого решения

функцио-

 

 

 

 

 

100

 

 

 

• нал

>S

имеет экстремум по

всем

входящим в

него

переменным,

то

есть

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

иди

 

 

 

 

 

г га

~ъги

 

 

 

~Щ~

* 0 j

{ П Л )

с)Afatf,AS

 

 

 

 

 

 

 

~ТЦГ

= 0

J

 

S " " m 0

'

 

( I I . 5 )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( I I . 6 )

Если

ограничения на

У;

или

Не имеют

вид У4 '* ^У;^У^

(Ui# ^"U . L -

Ui*

)» 1 0

реиение

может находиться и на границе

(см. п. 6.1),

причем

в атом случае

 

 

Щ8^ й ' о . соответственно

 

 

Э И г : " 0 ^ -

т

 

( I I . 8 )

где

и

oili

- вариации, не выводящие Ус

и

за

пределы

Ук

или

V|<_

 

 

 

П . 2 . Прямая

форма связи

 

 

 

Рассмотрим частные одучаи вадания связей и ограничений. Для

прямой

формы

связи

 

 

 

 

и ограничениях на

управление

4(<; £ \/^, уравнения

( I I . 8 )

и ( I I . 6 )

примут

вид

 

 

 

 

 

/О-f

*

~г

э!2Г JBtCc

(ii.io)

 

•4 * Ш + Ж« = 6 7

( п ' щ

Условие (И . 5 ) можно заменить условием абсолютного ыакоицума по Ып , так как управление на последней стадии влияет на функционал I непооредотвенно и не влияет черев переменные состояния. Вводя обозначения

 

М - / / ' Л Щ +4+,АЪУ.;

UiJt

(

П Л 2 )

уравнения (II . 10) и

( I I . I I ) можно переписать

в более

компакт-

пой

форме

 

 

 

 

 

 

9и.

 

 

 

 

 

 

~2U<

~ U

 

 

 

(ИЛОа)

j

D M

i -

0 , 1 ,

2 . . .

 

 

j

 

 

 

 

<• - ТУТ'

„ .

„

(Ha)

Если

связей ( I I . 2 )

несколько,

то в tS H

U

пояжитоя двойная

сумма

 

<•

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

т .

п.

 

 

 

 

 

 

 

pS * J + Z! 2 4

 

 

' - ^ ^ ' - 1 ; 4 ; )

( П . З а )

Здесь

TTV -

число

связей. Соответствующее

 

суммирование

 

/ и 6

 

 

 

 

 

 

по

V

нужно

будет произвести и в условиях

 

оптимальности

( П .

4)

* ( I I . б ) .

Уравнения ( I I . 9 )

запишутся

 

в

виде

(пункция

V я

Смотрите также файлы