Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 74
Скачиваний: 0
№
|
|
§ 18. Некоторые |
задачи, имеющие решение в Форме |
|||||||
|
|
|
|
разрывных |
экотремадей |
|
|
|
||
|
Уоловия оптимальности, изложенные в § § 16 и 17, могут быть |
|||||||||
конкретизированы для некоторых форы задания |
о виз ей и функционала I . |
|||||||||
При этом иногда оказывается возможным расширение того множеотва |
||||||||||
функций, |
на котором находят решение |
задачи. В частности, |
оптималь |
|||||||
ный аакон |
изменения |
состояния |
Ул\) |
может |
оказатьо.-; не |
куоочно- |
||||
гдадкин, а куоочно-непрерывным. |
|
|
|
|
||||||
|
1 8 . I . |
Задачи, |
линейные |
относительно У |
(4) |
|
|
|||
|
Начнем рассмотрение задач, которые могут иметь решение в классе |
|||||||||
разрывных |
экстремалей, о простейшей задачи |
о макоимуме |
функционала |
|||||||
со |
связью |
О |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
SC = |
1? |
|
|
|
|
(18.2) |
||
и |
ограничением . Х ё |
j((Oj-X0 |
\XCfl*Xr% |
я Р и ч в и |
X ш. 1? |
|||||
скалярные |
функции |
аргумента |
£ . Нижд эту эадвчу |
будем |
называть |
|||||
исходной. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подчеркнем особенности |
задачи. |
|
|
|
|
||||
1. Подинтегральная функция в максимизируемом функционале линейно зависит от скорости изменения фаговой координаты.
2. Ограничения наложены |
на фазовую переменную, скорость же еэ из |
||
менения |
не |
ограничена» |
|
Получим |
достаточные |
условия оптимальности поставленной задачи |
|
j ^ S j |
. Запишем функцию Кротова |
||
т
а выберем функции ^ иа условия независимости & от ЯР
tfx ft, ty= - |
svcx, z*;t |
т л ) |
откуда |
-X |
|
<S(xMJ = |
r/^'&v'x+c&X |
|
|
о |
|
В последней выражении нижний предел интегрирования может быть взят
произвольным, |
так как вто повлияет |
лишь на функцию С |
, которая |
|||||||||||||
не |
определена |
требованием |
(18 . ч) . Можно для простоты |
звпиои |
принять |
|||||||||||
0(4) |
= 0 |
и переписать (18.8), как |
^ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Для |
дифференцируемой |
по к функции Л/ |
после |
изменения |
порядка |
интегри |
||||||||||
рования и взятия частной производной получим окончательно |
|
|||||||||||||||
Таким образом, |
воли |
некоторая |
|
функция i |
с |
У*1 |
доставляет |
абсолют |
||||||||
ный максимум для почти всех |
и |
выражению |
|
(18.5). и функционал I |
||||||||||||
для этой функции сущеотлует, TOvY^e- V^-решение задачи. |
|
|||||||||||||||
Уоловие |
макоимума |
является |
не только |
достаточным, |
но и необходи |
|||||||||||
мым, |
|
функция |
% удовлетворяющая достаточным |
условиям |
п . 1 7 . 1 , |
|||||||||||
найдена. Полученное не основе |
уолотмй оптимвльнооти |
решение может со |
||||||||||||||
держать |
разрывы |
первого роде, |
|
а функция l / U ) |
- составляющие |
в |
||||||||||
форме обобщенных |
функций. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример 18.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
° |
|
|
|
|
|
|
|
|
Xtoj=/j |
|
|
|
X{SJ=2. |
|
|
Jim втой |
? адачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
z f |
- |
у/ - |
|
Jx*<Sy |
- |
|
x t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
убывает |
в |
области допустимых |
значений X |
при X |
и |
возрастает |
||||||||||
|
|
|
. На рис. 18 . I показаны |
траектории, |
соответствующие |
|||||||||||
минимуму и максимуму I . |
|
|
|
|
|
Рассмотрим случай, когда винчение |
У.(Т) |
может быть произволь |
|||
ным. Так как оптимальная |
величина |
X в каждый момент времени |
выби |
||
рается независимо, то при i<7~' |
ЛТгу/нахбдитоя ив уоловия |
(18.5К |
|||
Изменение ординаты УЫ) |
в бесконечно |
малой |
окрестности <?тмомвнта |
||
i.= Т вызывает приращение функционала I , равное приращению функцио нала
Действительно, первое слагаемое в (18.I) ограничено, и величина интеграла от него на отрезке С'Г - £ у. , Т) имеет Порядок £ т . Подсчитаем приращение I j для случая, когда y(ijимеет раэры* перво го рода при •£. = Т. Пуоть
у(Т-)-Х4 |
; |
Xfrj |
= |
x* |
тогда |
|
|
|
|
Заменим первоначально |
на интервале |
cfV |
разрывную функцию монотонно |
|
изменяющейся от Xl |
ДоХ |
и выразим |
Z через У |
|
"функционал (18.ь^,*
По мере стремления <5Т к нулю, У СО стремится к скачкообразной функции, а ~£( У ) для каждого У£(У^У^п константе Т. Окончательно интеграл (18.6)
к/*
Из (18.7) следует, что J\ (Т) должно быть таким, чтобы
-К
П&С^ТУ^ |
J'v't'Xj'T'yofX |
(18.8) |
Здаоь С - произвольное число.Аналогичные условия имеют место и для У(0), когда это значение не фиксировано. Функционал (18,1) может иметь слагаемые, зависящие от конечного состояния
о
п р и ^ - ^ |
Т экстремаль по-прежнему доставляет |
абсолютный максимум |
||||
(18.5), |
вариация |
же _ Z/* |
при |
•£ - |
У |
|
8Т |
Ja/OCx, |
~rJo/*+ |
rfx*CrJj-FfaCT)) |
|||
Значение |
У* должно доставлять, как |
следует |
из последнего выра |
|||
жения, абсолютный |
максимум /77/* |
T V |
|
|||
/ 7 7 . |
7>> - в"/>/Ул/./ху-/<Ух+ |
/Cfrfti)] |
||||
|
|
XCrJ |
с |
|
|
|
Пример 18.2;
у = пГ
М--Уj
V e
При 2Г =» I . 3
УЛ0--2
Оптимальная |
траектория |
показана на |
рис. 18.2 1[х*) |
= П / 6 |
Честным |
случаем исходной задачи |
можно считать |
определение |
|
максимального значения |
интеграла |
Стильтьеса |
|
|
|
I |
= |
J A/fa |
*J*y&A |
а а . 1 |
0 ) |
|
|
|
о |
|
|
|
где |
/V- |
непрерывная |
функция, дифференцируемая no t |
, |
а |
|
У(= |
V y |
является функцией о ограниченной вариацией. Последнее |
||||
означает, |
что |
каким бы |
образом мы не разбили отрезок |
[ О , |
Т } |
|
w
I
точками деления ~£I
Z /х~Ш -x&i-)/
ограничена. Интеграл (18.10) можно переписать й форме
со овязыо |
0 |
У = <i)\
очитая ^(-ir) обобщенной функцией. |
|
|
Условие оптимальности (18.5) приводит к требованию |
максимума по |
|
JC при каждом i |
выражения |
|
С |
|
|
18.2. Задачи, приводимые к исходной |
|
|
Решение задачи |
посредством ыакоимизации функции |
/£? яо фазовой |
координате очень просто. Поэтому заманчиво расширить круг задач,
решаемых |
подобным |
образом. |
|
|
|
|
||||
а |
.Изопериметрические связи |
|
|
|
||||||
Лля |
исходной |
задачи с |
изопериметрическиыи связями |
|
|
|||||
Д |
- //Л |
|
(*, V |
+A4Cx,*Jnr]c/t= |
с,, |
|
||||
где |
t |
и |
Л/] |
удовлетворяют |
тем же уоловиям, |
что и А/„ и A/oi |
||||
а ограничения |
|
на У |
и |
1J7 те же, что в исходной задаче. Для |
||||||
этой |
постановки |
существуют |
также |
действительные Числа ^ |
, что |
|||||
решение задачи |
У* |
для каждого |
zf доставляет абсолютный |
макси |
||||||
мум |
выражению |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(18 . II) |
где |
|
|
|
|
|
-Y |
|
|
|
|
|
о/х,*; |
|
-УМ, |
|
(xJJ<& |
|
(18.12) |
|||
|
|
|
|
|
|
о |
|
|
|
|
0=о