Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf

Здеоь

L / e

T

^

t/^O^X^J- управление,

соответствующее постоянной

во времени

фавовой

координате

(статическое

управление).

При выполнении условий (18.16) и (18.17) вадвча

приводима. Уоло­

вия приводимости одновременно являются уравнениями для расчета

функций М

и

А/

,

входящих в уоловия

оптимальности

(18.5, 18.8),,

Пример

18.3

Задачаt

линейная

по управлению

Т -

/*f&

(х, *J -/ ?в

(х,Оt/Jaf^;

Х =

<?(xJJ+

ZCxyjts,

причем

d

)

ФО

Из

(18.16)

следует

ствтическое

управление

<УСг ~ -

-^г

,

и по формуле

(18.17)

/ V -

Л

-

г .

4 -

Подставляя зти выражения г (18.5), получим максимизируемую функ­

цию

.

В задаче,

линейной по управлению, каждая из частных пронявод-

ных в первом

из условий приводимое» не вависит от 1L В общем же

случае

это,

конечно, не обязательно. Важно, чтобы от управления

не

зависело

их

отношение,

в

.Задачи,

приводимые к исходной

на

части

отрезка

( j ^ T ] .

Для ряда задач подинтегральное выражение максимизируемого

функционала

I может быть записано в форме (18.1), (18.2) лишь

для

части отрезка

С ф " 1 . Пу от ц например,

J-Q

на

полуинтервале

[,Oj-h4

)

имеет

вид

J.QJt

\ на отрезке

3 ~*

/ в = ^ ( Х , # / У ( Ш , н а к о н 9 ц , на ( ^ j Т j - / 0

^ / в а

функционал

I

может

быть представлен

в

виде оуммы

190

•

Оптимальная

траектория

. У * н а

участке

t ^ / j " ^ ]

определя­

ется, очевидно,

И8 условия

(18.5)

и не зависит от ее характера

•а других участквх. Траектория

на первой участке

определяется

ив условия

максимума оуммы j^f/j

причем правый конец'траектории

при поиске

максимума I j

свободен.

Аналогично

для полуинтервала

( - ^ T j

положение

левого

конца

траектории,

и ее

дальнейшее

протекание

должны обеспечить абсолют­

ный максимум

-х6*л)

функций

на отрезке

{Н-,"^}

ослабляет

связь

между начальным и

конечным участками

оптимальной

траектории.

г . Задачи, приводимые в отдельных

точках

отрезка [

О ,Т]

Отрезок

может

стягиваться

в

точку

7^^,тогда

для

каждого

ив полу отрезков

[

0,

)

и

справедливы

условия

оптимальности,

обеспечивающие

максимум выражения

Здесь 6^,- малая окрестность

момента ^ . Вариации траектории до

момента

jig

меняют величину

первого и

второго слагаемых,

после

/ . -

второго

и третьего. Ист же функция r/{X,i,)*0и

второе

слагаемое пропадает, то У ( ~~L$- ) и

У. (~tl/f ) определяются

независимо после решения задач о максимуме функционалов

I j и

Ij)

со

свободным правым и левым концами

траектории соответственно.

При •£• =

=» О подинтегральное выражение не зависит от X .

Поэтому

решения

от ~Ь = - I до / = 0 и от 4 =• 0 д о ^ =1 н е з а ш -

гмлмы и

обеспечивает минимум функционалов

а

,2 /rScW^e

7 =

соответствэнно.

Причем

в первом

случае

свободен правый, а во вто­

ром левый

конец.

и тот и другой

функционалы доотигают абсолютного

минимума

при X

=> 0.

Решение

аадачи показано на рис. 18.8.

18.8.

Задачи, приводимые но одной

из

составляющих вектора

состояния

Рассмотрим задачу, в которой

П.- мерный вектодХи пг\- мерный

тектор

'Ц

могут

быть разбиты на две группы составляющих

каждый:

X

на

X,

и У о }

t C

па

1 ^

и Ц0 .

Xt

н Ц, имеют

размер­

ности (Г\-1) и CTTV-I). а Уа

u

U.„

скаляры.

Уравнения

овявей

имеют вид

V

= и

(18.18)

(18.19)

а

максимизируемый

функционал

т

(18.20)

функции M„,f , Л£ непрерывны

по Ха

;

U

, Ы„ъ дифференцируемы по

J

и t .