Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 67
Скачиваний: 0
26
При решении примера мы первоначально находили ^ из условия равенотва нулю первой производной, а потом уточняли характер вкотремума по знаку второй производной. Лля функций несколь
ких |
переменных |
обычно |
бывает |
проще |
вычислить |
значение функции |
||||||
в, окрестнооти |
|
, чем найти знак ее второй проиаводной. |
||||||||||
Поэтому |
чаото иопольэуют лишь уоловие |
экотремума (3.6). |
|
|||||||||
|
8аметим, |
что |
не всегда удобно использовать в качестве |
|||||||||
множества Ц |
|
с?-окреотность |
Jf* |
В конкретных |
задачах |
функ»- |
||||||
ция |
J . |
( *^ |
) |
может |
быть не |
гладкой |
или |
заданной алгоритми |
||||
чески и т . д . Если удастся найти такое |
множеотво |
значений |
ар |
|||||||||
гумента, |
для которого |
вычисление |
^ |
( |
'У |
) |
упрощается, то |
|||||
на этом множестве и формулируют необходимые условия. При этом?
чем шире |
/j |
, тем более сильными эти |
условия |
являются^ |
|
выделяют |
меньше |
"претендентов"). |
С другой |
стороны, чем правд |
|
определяется ^ ( ^ ) на |
/ , , чей |
проще |
испольвоьчть |
||
их для вычислений. Эти два требования, к сожалению, противоре
чивы |
в большинстве |
задач. |
|
|
|
|
|
||||
8 Д . |
О непрерывности максимума функции |
по |
параметру |
||||||||
Рассмотрим задачу о максимуме функции |
J-b |
( у , О |
) непре |
||||||||
рывной |
п о ^ |
и |
6? |
на |
множестве,^? |
при уоловий, |
что ска |
||||
лярный |
параметр |
& |
|
принимает |
континуум |
значений. Ясно, что |
|||||
решений |
ее |
|
будет |
зависеть |
от & * |
|
|
|
|
||
Нас |
интересует характер изменения |
|
|
|
|
||||||
как |
функции |
<б? |
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
Оказывается, что даже при разрывной функции |
|
||||||||||
J^(&) |
будет |
меняться непрерывно, |
Запишем |
разность |
|
||||||
2?
Так как V (Q) соответствует максимуму
рткуда |
следуют |
неравенства |
|
|
|
|
|
||
» /.ГУМ |
|
|
-^ |
BJ |
|
|
|||
При &-»-0 |
|
левая |
и правая части |
этого |
неравенства |
||||
стремятся к нулю, |
Так |
как |
у £ |
непрерывна |
По |
'8 |
, а значит |
||
и < 4 j £ * - * - 0 , |
т - 8 « |
^ |
Л |
непрерывна по В . |
|
|
|||
3.5. |
Понятие о |
выпуклых |
функциях |
|
|
|
|||
Так |
как необходимые |
условия |
экстремума |
функции t |
ваключающие- |
||||
оя в равенстве нулю ее |
градиента, выполйяются.'во многих точках |
||||||||
и не дают однозначного |
решения |
задачи Об абсолютном Максимуме |
|||||||
(а именно он нас интересует), желательно выделить класс задач, для которых условия экстремума гарантировали бы нужное решение* Такой класс образуют задачи на максимум выпуклых функций, опре
деленных на выпуклых |
|
множествах. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Определение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
функция |
/ |
( |
У |
) |
называется |
выпуклой/ если |
вое |
точки |
от |
|||||
резка, |
соединяющего |
|
^ k^-i ) |
и |
^ |
(. «V& |
)t He |
превосходят, |
||||||
/(Ус), |
|
где |
X |
|
£[*>>Хг] |
|
|
|
|
|
|
|
||
Все |
значения |
|
|
, |
принадлежащие |
отрезку |
|
i^s] |
^ |
Ш~ |
||||
ражаются•как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
U ^ |
J3 < |
|
1 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а ординаты |
отрезка, |
соединяющего |
|
-£(. |
.У, ) |
и |
JL ( |
.Уд |
) f |
|||||
Z8
Поэтому данное выше определение можно записать в виде неравен ства
СШЛь)^1Ах,+('-АЩ |
(з.8) |
Если в этом неравенстве нет знака равенства, то функция назы вается отррго выпуклой, т . е . она не содержит линейных участ ков. Заметим, что функция, у которой вторая производная для любого значения неположительна, выпукла. Однако класс выпук
лых функций может содержать и такие, у которых |
вторая произ |
||||||||||||||
водная не определена в некоторых точках. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
На рисунке 3 . 2,а изображены выпуклые, а на |
рис. |
3,2,6 — |
|||||||||||||
невыпуклые функции. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Множество Ж |
точек, пространства |
J^Q{ |
^ |
) |
|
|
„принадле |
||||||||
жащих |
Л и лежащих |
под |
графиком |
функции |
-f0 |
, |
выпукло |
лишь в |
|||||||
том случае, когда выпукло множеотво допустимых |
значений |
ар |
|||||||||||||
гумента |
и функциД |
д 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Бели же одно из этих условий не выполнено, то можно пост |
|||||||||||||||
роить выпуклую оболочку % . Если, |
в частности, |
невыпукда |
|||||||||||||
только |
функция zf0 |
, so |
выпуклая |
оболочка |
множества |
% |
ограни |
||||||||
чена |
графикой |
функции Со |
<£-0 |
, |
которую иногда |
навивают |
выпук |
||||||||
лой |
ободочков |
функции j!Q |
. |
Не рис. |
3.3 |
показаны |
функции |
||||||||
Предоставляем читателю доказать следуввдэ утверждения:
•1. Сумма любого числа выпуклых функций выпукла.
2.Выпуклая функция, определенная на выпуклом множестве, имеет единственный максимум.
8. |
Если аргумент функции |
^ ( ^ |
) представляет |
собой |
|
/ 2 , - |
мерный вектор, то Выпуклая оболочка Оо |
у £ ( |
^ ) может |
||
'бить |
достроена в ревультате |
решения |
следующей |
задачи.' |
|
29
Cj |
/ / У |
1 = |
™а |
|
* |
- 2 Г |
К : do |
(fa) |
(3.9) |
||
при |
уоловиях |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л * / |
|
~ ^ |
f |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 T'ic |
|
|
|
|
|
(ЗЛО) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
л*/ |
|
|
|
|
|
|
|
|
( а л р |
|
|
21 |
& У*- |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Геометрически это означает, что всегда найдутоя (R+I) век |
||||||||||
торов |
такие, |
что |
^ |
лежит внутри проотранотвенного |
|||||||
угла, образованного ими, а ординаты выпуклой ободочки в |
f очках |
||||||||||
|
оовпадакге |
о ординатами |
^ |
. Так, |
на рио.Э.З |
И» |
I |
||||
при y^^lg^ |
tyf, |
в |
выранвнви |
(3.9) |
^ я I j |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
а величина |
мнохателей |
Г , и |
||
Определяется условиями |
(ЗЛО), |
( 8 Л 1 ) . |
|
|
|
||||||
Рнс. ЭЛ
Со/
- I |
' |
|
l |
l . |
|
РНС. |
3.3 |
{//way |
Рае . 3,2 |