Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf

1.

Выбираем

jf

так ,

чтобы а

окреетяоотв

предпонагвемого

реивияя Jf * функцвя

Лаграняа

1$

не зависела

os

Х2 Сусло­

ва в

(5.6)).

2. В этом случае

no Xj„ как по независимой

переменной,

она должна быть иакоамадьва

аа ннозестве

сравнений

. Необ­

ходимое усдовзв ыаковыума по Xj

примет вид

(5.7).

Условия максимума

,нсполь8увщи@

множители

Лагранза, ,как

в всякие необходимые условия,

выделяю? в общей случае набор

"претендентов" аа реиенне.

Dps этой, как в для безусловного

яакснмума, функции J-o

в

J.{

предполагаются твхт

дяффе-

рвЕцаруеиыми,

а в аачастве

множества

сравнения

L

внбзравэ-

оя точки, лежащие з

<f-окреотноотв

. У *

н удовдетворяющно

яквварввованвоиу уравнению

связи (5.1а).

5.3. Геометрическая

интерпретация

J

- кнокигоязй

Остановимся на гвоыегрнчвской

ингерврвтацвв ветода иеопреде-

яашшх множителей. На рисунке

5.1 нзобрагены

пннин уровня

фунгциа j f 0 ( I j , Ig) и мигая, удовлетворяющая

условию

w

- J

w - .

ке X

градиентов

функций J-0

н

. Два

вектора

пропорцно-

•иальиы друг другу

лишь в той

исключительном

олучае,

когда

такого

скалярного множителя ji

,

который бы обеспечивая ра­

венство

(5. I I ) .

Так как градиент функций перпендикулярен касательной к

линии уровня,

то в точках А и Б условие

( 5 . I I ) выполняется,

множители J ,

являющиеся коэффициентами

пропорциональности,

понятно,будут

в А и Б равными.

5.4.Экономическая интерпретация

J

- множителей

ческое толкование. Представим

оебе, что условие

^,(Si)-Q

вы­

ражает собой ограничение на дефицит ресурса и что при

(х)< t

максимум целевой функции J-0

растет.

Будем толковать функцию £ 0

как прибыль, получавмув не­

которым предприятием,при использовании ресурса.

Предоставив

тации

tj/l

-множителей

и даже

метода Лагранка.

Скорее

всего

он

будет решать

ее

так:

I .

Назначит

некоторую цену

Ц

на единицу

реоурса J t н

предложит потребителю купить его по этой цене. Последний,

максимизируя

чистую

прибыль

X

(

У

)

-

4

4,

( х

)

без всяких

дополнительных уоловий,

найдет

X

(Ц) и

окажетt

сколько ресурса

/

он хотел

бы купить.

Очевидно,(во

всяком

случае з экономике почтя всегда так бызает),

чей больае

( / ,

геи меньие

Д

,

чем ниже

У

тем больше

^

.

Если окажется,

что

^ >

О, то

экономист

повысят цену,

если

4.

0 9

понизит. Так проиоходи*

до sex

пор,

пока

при

некоторой цене

<Ур(

равиозеоной

цене;

потребителя

выгодно

будег,

чтобы дефицив реоуроа

jff

был равен нули.

При этом

чистая

прибыль накоимальиа,

т . е .

Он, меняя Ц

,

регулировал

опрос

на реоуро, предоставляя

one

рацнв иакоаззяаацаа

потребителю,,

5.5.

Особые

оду чад

Сяедуе? оообо

остановиться

аа

олучаях,

когда

градиен!

J.f

шш градиент

J 0

отрвыятоя к

иул».

Но рисунке

5.2

решением

задача условного г-акоинуиа

могуя

йтъ

гочкя А,

В и С. Точке

А -

обычная, она находится

аа

ано-

веотза Э

(J.

t

(Jc

)

= О )

в

общем положении, s ее можно найти,

В?ц

гочки находяя as уравнения

У

С$= 0. В ни» нужно

с

i

просчитать аначепне функцин

^.

(j( ).

х

«

-

0

lips 8iou число уодомй

должно

быть мвньи равывряоотн

вектора I , чтобы множество допустимых рменвй оотавлядо сво­

боду

выбора,

необходимую для макоииивации. функция

R примах

вид

^ '

b

«л,

( 5 . И )

~* Z diii ,

* необходимые уожохия максимума в векторной форме —

/Г}

ямш

* Ь

-

~

£

Ж

7 А .

(5.15)

Д - ураввенив

(5.15)

совместно

о

*"П-урешениями (5Л8)

П08В0ДЯЮТ найти

(П + гл)

нвиэвеотяых

-( *y\ множителей Лаг-

раваа в

Д. ооогажяявцях вектора

,Х ) .

Условия (5.15)

можно

геометрически

трактовать

как уодовия

попадания

вектора oj[s

ГП -

тарное

ыногообразке,

образованное

векторами

V ^ - . Так, пра в <=< 3, а П\

« 2,

градлвга

ив-

анг в плоскооти, натянутой на векторы

Ч J-±

я V J-£

s точке

а

Ранение

сиотвны.(5.15)

существует,

веля в яочка

. X * авт-

рйца

Л

в об«даи чавяоя

,