Файл: Цирлин, А. М. Основы оптимального управления конспект лекций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 70
Скачиваний: 0
35-
2. Случайный поиск: направление движения на каждом шаге определено не точно, а с некоторой вероятностью. Случайным об разом выбирается и величина шага. При определенном выборе такого •вероятностного поведения этот подход позволяет найти глобальный
максимум функции с вероятностью единица.
3. Многократный поиск. начинается из различных точек допустимой области. Полученные в результате поиска значения фун кции сравниваются друг с другом.
|
4. Метод тяжелого |
шарика. |
при котором учитывается не толь |
||
ко |
приращение |
функции |
На очередном шаге (.скорость |
ее изменения), |
|
но |
и разность |
приращений на двух |
последних шагах |
(ускорение). |
|
Коэффициент, с которым учитывается ускорение,-эквивалент массы
шарика, катящегося в точку минимума |
и проскакивающего |
благодаря |
||||
наличию массы локальные |
"ямки" и "бугорки" (рис. |
4.3). |
|
|||
5. Сглаживание; |
сначала найдем |
максимум не исходной, а |
||||
сглаженной |
функции^fxj |
(рис . 4 . 4) . |
йсли область |
притяжения |
||
глобального |
макоимуна |
значительна, |
то^естественно,предположить, |
|||
что число локальных максимумов у сглаженной функции меньше, а глобальный максимум близок к максимуму исходной функции; Найден-1
нов решение .Y монет |
быть принято за |
начальную точку поиска. |
6. Приближение: |
исходная функция |
на всем множестве допус |
тимых значений аргумента или в достаточно широкой окрестности точки поиска заменяется суммой первых слагаемых ее разложения в ряд по некоторой системе функций. Обычно применяемые сиотемы функций{полиномы)4еоышева, Лагерра, Эрмита, тригонометрические ряды Фурье и др.) обладают тем свойством, что первые их слага емые меняются более плавно, содержат меньшую долю высокочас тотных составляющих. Поэтому замена функций первыми слагаемыми раз7южения в такие ряды, по существу, эквивалентна сглаживанию.
id-
Приближение (иногда интерполяцию) осуществляют по несколь ким значениям суункции. Через коэффициенты ряда находят полохв' ние максимума получившегося выражения, а затем уточняют приб лижение^ ли вводя дополнительные значения функции в окрест ности найденного максимума, или увеличив число членов разло жения.
г - |
JW |
3?
|
§ 5. Задача уоловного иакониума функции. |
|
|||||||
|
|
Метод Лаграняа . |
|
|
|
|
|
||
|
До сшх пор ии рассматривали |
задачу |
о максимума функциа, |
||||||
в gosopux ыноаеотво дооуотншх |
решений |
ограничивалось |
?огь- |
||||||
ко |
неравенствами, |
заложенными аа каждую во соогавдявдих |
|||||||
аргумента. |
Однако |
в реальных задачах |
ого множество опреде |
||||||
ляется уоловияня |
типа равенств |
(свяаамв) илн УСЛОВИЯМИ |
гого |
||||||
п другого типа. Методы раненая |
тагах |
аадач |
буду? pacoaos- |
||||||
рэны ниже. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 . 1 . Начнем с |
задачи |
об уоаовиоа накснауме |
фунзцив |
двух |
||||
|
Требуется иайта гакой |
вектор J ^ | ^ j 3 |
У 2 ] |
» ч*обн |
фунв- |
||||
ц ш |
I (X) достегала максимального значения |
при уодовга: |
|||||||
|
Jо |
|
|
|
|
|
|
(5.1) |
|
|
|
( Z j , 12 ) |
- О |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Ограннчевня |
з ssaS задаче огоуготяуют. |
|
|
|
|||||
|
Естественный куть решения такой задачи, на парный вагяяя, |
||||||||
вакдвчаэтоя |
в гои, чтобы из урвавшая |
(5.1) знрааать одэо |
|||||||
переменное |
через |
другое, |
аапраыер, |
|
|
|
|
||
подученную |
I |
V*fc2), |
в |
|
|
(5.2) |
|
||
функцыв подставить |
|
|
|
|
|||||
|
^ ( X j , 1 2 ) - /о( |
С ^ ( Х 2 ) , 1 2 ) |
(5.8) |
|
|||||
Тем самым задача об усдозном ааноннуае йущнцш оводаяса
Езадаче о безуолоэаои цаксануне фуннцаа одной переменной. Однако переход от уравнвгшн [5,1) в (5.2) даже в случае
авух переменных н одного уоловня доотазочяо врудоеыов. Epoas того, задача^по оущеотву, онмиетрячна относительно неренвннет ^1 s Х 2 и иногда полезно в столь se ошшеграчной
3*
подучить уоловия оптжмальностш. Попробуем использовать нэобхо-
явные уояогия максимума выражения (5,8), шсключвз ва них ^ а к |
|||
цию |
Эта попытка обещает |
быть уопевной, зав как нао инге- |
|
psqyex ваиожмооть I j от Хг |
в е |
»°ЮДГ, а яви* в окрестности ра |
|
невая. |
|
|
|
Итак, |
необходимое уояоме |
накошу на функции J~0 в форме-Ч513) |
|
с/у, |
= |
г7ш |
|
ыуг |
ъу2 |
|
-ьу, d/s |
и |
<5 . « |
|||
Теперь |
нужно жвеота з |
это яыраяение |
вместо |
фикции |
^ |
|
||||||
W№ Уi> |
Дяя этого учтеа, что яе множестве |
допустимых решений, |
||||||||||
определяемом |
связь» (5.1), |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1>Хг |
|
|
|
|
|
|
|
(5.1а> |
|
откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
о/У, |
с/с/ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
ЪУ |
|
|
|
||||
|
|
o/Sz |
о/Уе |
1>х2 |
|
|
|
|
||||
Подставим полученное |
адрааеняе х (5.4). Необходимое условие мак- |
|||||||||||
самума ^(Я) |
прв ^ ( 1 ) |
» 0 примет |
и д |
|
|
|
|
|
||||
ъхг |
|
ъу |
/ |
ъу, |
ъл2 |
|
|
|
(5.5) |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||
8деоь предполагается, |
что |
/ |
0. Обозиачая |
черев у / |
ве |
|||||||
личиху |
|
J |
|
2 d . |
2А |
|
|
(5. |
4л) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
перэшгнем |
(5.5) как |
ЪУ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2У |
= |
о . |
|
(5.6) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
В свою очередь,(5.^а) можно записать в аналогичной форма
ЪУ2
39
^ S r + j / t ^ t •0 |
(5-7) |
Уеяовая ыакоимуиа (5.6) a (5.7) se требуют рваенвя уравимяя овявв (5.1) в совершенно овшвтрнчвн по форме.'Из оообввяо
угодно |
иигерпретировать, введя |
специальную функцию |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
Л / , |
(Ю |
|
|
(5.8) |
|||
|
5.2. Метод веопредеденвыг мвонитеяай |
Дегваияа |
|
|||||||||
Внравенве (5.8) завывают функцией Загранка, a ji |
- нвопрв- |
|||||||||||
деданныи иноштелви |
Лагранаа. е^нкцня |
Q |
обладает |
тш |
вале- |
|||||||
чатеаьным свойством, что яа мяоавота* допустимых ревеиаН |
|
|||||||||||
оза совпадает |
о |
J 0 |
прш яюбон коаечвоа |
авач«ннш |
jl * |
8акв~ |
||||||
5ны, что Э2?а ояойогво сохраняется а при «// , вйаясвден от X |
||||||||||||
Такны oOpasoa, |
еоаа |
ваи удастся |
вябратъ |
|
|
|
|
|||||
j$ была иалонмальша, а asos ыаковшуа яоотигадоя |
яа допуопи |
|||||||||||
ман аноаеогве, |
хе будеа Ыйномыэдааа и функция |
|
, |
|
||||||||
Определясь ^// |
a |
J< * ыоаао, |
каяряавр, а таков |
нооявдоэа- |
||||||||
58ЯЬЭ005?Н: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. |
Эапасызаеа усвоена аавеиауаа фуакдвн |
Р |
(ока швв$ гад |
|||||||||
(5.6), |
(5.7) |
)и находаа 89 к |
1| |
( » / / ) , |
\ |
i J |
) . врячва |
|||||
веяачвяа <у/ |
|
|
определена. |
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Подбираеа |
|
^/ |
гакяа образоы, |
таоба |
шюш1лес~ь"~уравдв« |
||||||
ыне связи (5.1), т.е» |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Так как условия |
(5.6), ( § . 7 ) , (5.1) следуз» |
аапооредсгвана?) |
||||||||||
ив ееооходыаого |
уаяовмя ойишалъгзоста (5.5), го заное знача |
|||||||||||
ще Л |
найдеэеоа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Наряду с этяы вовыоавя Б другой подход, вернее, яяез нсэеоа-
козанив тех se уравнений: