Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf

Si (=1

Для случая, когда момент приложен к первой массе системы и имеет вид (4.1),

Подставив найденное значение Tj в выражения (4.5), получим решение уравнений (4.2), соответствующее внезапному приложению к первой массе системы крутящего электродинамического момента

(4-1).

144

Свободные колебания консервативной системы вал — диск — лопатки

Для расчетов рассматриваемых систем широкое распространение получил метод динамических жесткостей. Известно, что при вычис­ лении собственных частот разветвленных систем наряду с корнями частотных уравнений приходится иметь дело с антирезонансами — разрывами кривой остатков вида (± о о ) -=~ (± о о ). Наличие двух видов особых точек кривой остатков может создавать трудности вычисления при расчетах систем с густым спектром частот. Именно к таким системам относятся рассматриваемые.

Излагаемый ниже метод расчета собственных частот и форм колебаний системы вал — диск — лопатки приводит к частотному уравнению, кривая остатков которого не содержит антирезонансов. В основу метода положено разложение форм совместных колебаний

подбором. Из (4.2) следуют уравнения свободных колебаний

ёГ о

—rrii 1 р,; (р) рy'idp — Ci—1 0£—1 — 0,-) +

Го

ний отдельных лопаток и дисков, жестко закрепленных на внутрен­ них радиусах и свободных на наружных. Коэффициенты разложе­

ниями, приведенными в работе [22].

Таким образом, формы колебаний лопаток и дисков в совмест­ ном движении системы вал — диск — лопатки могут быть выра­ жены через формы колебаний вала с помощью приведенных выше

146

разложений. Это позволяет преобразовать уравнение (4.7) к виду

I t — суммарный момент инерции участка (с лопатками и диском). Уравнение (4.12) по виду совпадает с уравнением крутильной системы с инертными массами. Для такой системы, имеющей гра­

Приведенные выше уравнения отличаются от уравнений Кры­ лова — Толле тем, что входящие в них моменты инерции /,• (со) не являются постоянными величинами, а зависят от пробной часто­ ты со. Выражение для /,• (со) может быть получено из (4.13) при соответствующей замене s,- на со.

Можно показать, что знаменатель члена суммы по q, входящий в выражение /,• (со), представляет собой частотное уравнение облопаченного диска i-го участка системы. Частоты этих дисков и вызы­ вают антирезонансы уравнения (4.14). Для случая системы вал — лопатки антирезонансами являются частоты лопаток.

Указанные антирезонансы могут быть устранены с помощью следующего преобразования. Представим приведенный момент инерции участка системы в виде отношения двух функций

обладающих такими свойствами, что ни одна из них не может обра­ щаться в бесконечность при любых значениях со. Подставив (4.15) в уравнения (4.14), получим эквивалентные рекуррентные соотно­ шения и частотное уравнение:

лученного частотного уравнения является плавной и не имеет раз­ рывов, характерных для антирезонансов.

Частотное уравнение (4.16) позволяет определять собственые частоты системы, формы же колебаний следует вычислять с помо­ щью рекуррентных соотношений (4.14) и формул (4.10). Соотноше­ ния (4.8) позволяют получить значения форм колебаний элементов системы, соответствующих абсолютному движению.

В практических расчетах удовлетворительная точность вычис­ ления частот достигается при удержании в суммах выражения (4.13) лишь нескольких первых членов. При этом важно, чтобы диапазон частот удерживаемых форм колебаний отдельных лопаток

ортогональную в обобщенном смысле систему функций. Условия ортогональности для них могут быть получены из уравнений (4.7) с помощью интегрирования по частям при использовании гранич­ ных условий (4.4):

При исследовании вынужденных колебаний используется выра­ жение для квадрата собственной частоты системы вал — диск — ло­ патки, получаемое из уравнений (4.7) также с помощью интегри­ рования по частям:

148