Файл: Филиппов, А. П. Воздействие динамических нагрузок на элементы конструкций.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 23.10.2024
Просмотров: 66
Скачиваний: 0
Здесь хп , х21, х22 — корни уравнения |
Рэлея. Ветви |
радикалов |
ух и у2 фиксированы условиями О С |
arg yt (|32, а) < |
я /2 (г = |
=1. 2). Из граничных условий (1.84), (1.85) находим
ф(а, Р) = s (а, Р) ф (а, Р) = — г (а, Р) со2 (а, Р),
|
ю2 (а, Р) = — ф (а, Р) s—1 (а, |
(1.89) |
|
Р). |
|
Учитывая |
теперь (1.89), подставляем (1.83) в уравнение (1.74), |
|
из которого |
определяется |
|
ф (ос, |
Р) = |
sin а/4/2 sin р/г/2 |
(х2 + Х382и0). |
|||
|
я 2сф0 (а , |
Р) |
||||
|
|
|
|
|
||
Здесь р0 — прогиб пластинки под грузом; |
|
|||||
0 (“ , Р) = (а? + |
Р2)а — |
(со — сер)2 — е (*« р); |
||||
|
|
|
V, = |
щ |
|
Я2 со2 |
|
|
|
я 2 |
|
||
|
|
од |
|
|
|
|
|
>.-я |
sin a l J 2 |
sin |3/2/2 |
dadfi. |
||
|
а|30 (а , Р) |
|
|
|||
(1.90)
(1.91)
(1.92)
(1.93)
Если движущаяся нагрузка распределена вдоль всей поверхности, т. е. 1Х-> оо, 12-> оо, то для 0 0 в результате предельного перехода получаем простое выражение
а |
Я2в (0, 0) |
(1.94) |
|
'°'0 — _ |
х ^ е (0, 0) + |
||
|
так что прогиб пластинки определяется без вычисления интегралов:
_ |
х2 [х4со28 (0, 0) + |
х4] [х2со2в (0, 0) х4 + v2ji2s (0, 0)] — т1я2х3(о2е (0, 0) |
W |
8 |
(0, 0) [х ^ е (0, 0) + х4 + т2л2е (0, 0)] |
|
|
(1.95) |
Функция е (а, Р) характеризует влияние инерции упругого трехмерного пространства и представляет собой перемещение по верхности полупространства под действием единичной нормальной силы. Решение для движущейся силы тяжести вытекает из рас смотренного при со = 0 .
Полученные решения используем для более сложной задачи,
когда на пластинку, лежащую на упругом |
полупространстве, пере |
дается равномерно по некоторой ширине 12 |
давление от двух балок, |
по которым движется нормальная нагрузка, состоящая из движу |
|
щейся с постоянной скоростью v массы rrix и подрессоренной массы |
|
т2. На движущуюся и подрессоренную массы действуют периоди |
|
ческие |
силы |
р ке 1№ + %& |
(k = |
1, |
2). Уравнения |
колебаний пла |
|
стинки, |
балок и подрессоренных |
грузов с учетом |
инерции |
масс и |
|||
затухания в системе (1.72) имеют следующий вид [44]: |
|
||||||
cdz(t) |
dz (t) + |
e2z (t) = |
83 -f- 84e!(“^+X2) |
дгу (*1, t) |
(1.96) |
||
|
dt* |
+ ei dt |
|
|
|
|
|
29
+ 8i { ~ i ~ v i k ) y J r b i \~Tt -~v 4 r ^ y
= 6 (xx) 6 em t+ Xi) — 64 |
d2y |
+ |
65 + $ez (t) |
■6A |
(xlt |
t), |
(1.97) |
||
— g |
|||||||||
3 |
4 |
л 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xt—0 |
|
|
|
|
|
|
|
AAw -)- Xi f-gj-----V gx~\ |
W — h (X2, |
/2) |
(*1, t) |
•5<4^-2 (•'■!> |
*2> 0 ‘ |
(1-98) |
|||
Здесь коэффициенты ег |
(г = |
1, 2, |
3, |
4) и &k (k |
= |
1, .... |
6) |
соответ |
|
ствуют рассмотренным выше.
На границе контакта балки и основания предполагается отсутст
вие касательных напряжений и равенство прогибов: |
|
у {хи t) = w {xu 0, t). |
(1.99) |
Давление балок уравновешивается реактивным давлением пластинки /2G0^i Oq, t) на погонную единицу длины балки. Учет сил тяжести mig и m2g приводит к необходимости искать решения (1.96), (1.97) в виде суммы двух решений:
у(х 1, |
t) = ух (хи |
t) + |
у 0 (/), |
г (0 = Аеш + В. |
(1.100) |
Здесь 1/0 (t) |
и В = |
— |
решения, |
соответствующие действию |
|
только сил тяжести. Аналогичное решение для пластинки полу
чается при со е= 0. Поскольку решение у0 и В получается |
из реше |
||||||||
ний, соответствующих |
случаю действия |
периодических |
сил при |
||||||
со == 0, то можно искать |
решения |
(1. 100), |
положив в них у0 (t) == |
||||||
= |
В == 0. В уравнениях |
(1.96), |
(1.97) получим е3 == 0, |
65 == 0, |
|||||
не ограничивая этим общности решения. |
|
|
|||||||
|
Представим у (хх, |
t) |
и ^ |
(xlt t) |
в виде |
преобразования Фурье: |
|||
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
|
у (д ^, |
t) = |
еш |
^ |
тИ (a) eiax'da, |
( 1. 101) |
|||
|
|
|
|
|
— со |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
со |
|
|
|
|
У (*i> 0 = еШ |
) ®i (а) е‘ахч!а. |
|
||||||
Методом, описанным |
выше, |
получим для |
пластинки |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1Л02> |
Из |
уравнения (2.4) |
найдем |
|
|
|
|
|
||
|
©1 (а) |
44 («1 |
|
М а) |
= |
-У j |
sin р/,/2 |
(1.103) |
|
|
k(a) |
|
(50 (а , р) dp. |
||||||
Обозначив
9г (а) = а 4— бх (со —. ап)2 + г'62 (со — ап) -ф 67й-1 (а),
30
M = ~ i r |
|
м , = |
J L |
| б6 + бв |
|
(1.104) |
||
N = |
[s4“ 2 + |
SetoW0l. |
М0 |
= |
|
1 |
|
|
S 2 + iC08j — |
(О2 |
’ |
||||||
из (1.97) получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
ЧЧ («) = 01 (а) (Л* + |
W|i0), |
М-о = т = |
Ж |
" ’ |
= |
i в-1 |
(а) da. |
|
|
|
|
° |
|
- » |
|
(1.105) |
|
Здесь ц0 — прогиб |
под движущимся |
грузом. |
При |
со == 0 будет |
||||
i|4 (а )ш = о = ^ о 9 г ’ |
(а)и= о- Относительное смещение подрессоренно |
|||||||
го груза г (t) = N0 (e4el7“2 + |
со2р0)е/ш' + |
638^ '. |
|
|
|
|||
Как видно, данное решение совпадает с решением, полученным |
||||||||
выше, но функция влияния основания имеет вид |
|
|
||||||
k(a) = |
- \ |
j |
|
Р) e0 (a, М |
- |
(1.106) |
||
Здесь |
—со |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е 0 (а > Р) |
Щ ---- |
g (а > Р ) [ ( а '2 _|_ |
£ 2)2 ---- (с о ----------- a v )*] |
(1.107) |
||||
определяет влияние пластинки, а е (а, (5) характеризует влияние
полупространства. Если пластинка отсутствует, |
то е0 (а, |
(3) == |
1. |
|||
|
Таким образом, исследование влияния пластинки |
сводится |
||||
к |
исследованию функции |
влияния пластинки |
(1.107). |
Так, |
при |
|
со |
= v == 0 |
____________1____________ |
|
|
|
|
|
е0 (а, р) = |
> 0 |
(1.108) |
|||
|
|
*4 + (1 — v) (а 2 + |
Р2)3/2 |
|
|
|
принимает наибольшее значение при кГ 1 = |
DIGll, пропорциональ |
|||||
ное отношению цилиндрической жесткости пластинки к модулю сдвига основания.
Метод Дж. Хука решения задач для неоднородных изотропных сред
Решение пространственных задач для двух- и трехмерных сред, когда параметры Ламе А. и р, а также плотность р являются пере менными, представляет значительные трудности, и имеется лишь небольшое число решенных задач для частных случаев.
Дж. Хук в своей работе [59] показал, что уравнения движе ния среды в цилиндрической системе координат (а также и для волн в двух измерениях) при некоторых ограничениях, наклады ваемых на параметры, могут быть представлены в виде двух ска лярных уравнений с полным (или неполным) разделением перемен ных. При этом среда ограничена таким образом, что ее свойства зависят от одной декартовой координаты г, постоянные Ламе А.
31
и р, пропорциональны одной и той же функции z так, что коэффи циент Пуассона является постоянным. Плотность р = р (г). При этих предположениях векторное уравнение движения имеет вид:
уУ (рУ •и) — V х(рУ хм ) + 2р' А Ч у . ; + ! 'г х ( У х 2 ь
~ р - | ^ = 0. |
(1.109) |
В уравнении (1.109) штрихами обозначены производные по г. Векторное смещение может быть представлено в виде суммы двух смещений:
и = |
irur + |
huz = «i + |
м2. |
( 1.110) |
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
( 1. 111) |
/2и2 = — V х |
(/2V |
X г > 2) — V |
X (t9/2 |
• |
Параметры /у, /2 — функции только z. Эти вспомогательные функции — весовые множители, которые вводятся для дальней ших упрощений. После подстановки (1.110) и (1.111) в векторное уравнение (1.109) оно принимает следующий вид:
V [V rn + |
г2Г12] + |
V X |
дГг1 |
= |
0. |
( 1. 112) |
|
г’е дг |
|
|
|
||||
Значения Г а , |
Г 12, Г 21, Г 22 |
зависят от операторов фа ф2, |
а также от |
||||
gi = filft (г = |
1, 2) |
и оператора |
R = r~] f-^rj г |
(^ г ) |
■ |
|
|
В дальнейших преобразованиях для расширения возможностей получения новых решений задач Дж . Хук вводит еще четыре век торных тождества для фх, ф2, включающих в себя четыре произ вольных функции от z: hlt h2, qy, q2. Эти тождества добавляются к (1.112), в результате чего векторные уравнения (1.112) принимают следующий вид:
У [VАп - f дД12] -f- |
У х |
ie |
^21 |
. ал,2 |
0. |
(1.113) |
||
дг |
1г ~ д Г |
= |
||||||
Здесь |
|
|
|
|
|
|
|
|
Аи = V2 + |
(gi + hd -q£ + (gy— qi) —’ |
|
|
|
|
|||
|
52 |
|
■ygz—'h2)R((p2), |
|
|
|
||
’ vl |
dt2 <Pi+Y 1 (2рц |
|
|
|
||||
A u — КРц —’^i) V2 + (Pngi —1 |
+ <7i) -fo + |
(Pvgi + |
<7i) — |
|
|
|||
|
JP_ |
|
|
|
|
|
|
|
— (Ph — Pp + gi) v{ 2 dt* |
<Pi + |
Y-1 l— (Y—'2 )Pv£t — |
} (1.114) |
|||||
|
— 2pp. + h2 + |
q*l R Ы , |
|
|
|
|||
|
|
|
|
I |
||||
32