Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

Разность между коэффициентами аффинной связности ри-

производной по координатам. Отсюда для Dlmn получаем явное выражение в произвольной системе координат

так как в нормальной системе координат выражения (3.9) и (3.10) совпадают.

Очевидно, что с помощью этих двух ковариантных про­ изводных легко теперь свести к тензорам все геометриче­ ские объекты, которые в общей теории относительности были лишь аффинными. Для этого достаточно заменить в них обычные производные производными относительно дгА.

В нормальных координатах полученные тензоры совпа­ дают с аффинными тензорами, если выполнить подстановку

V = g + V 1 R (g = d e tg lft, T = d e tijIJt). (3.11)

Тензор Риччи теперь можно получить с помощью Dlmn и ч]1/г только чисто тензорными операциями. Так как про­ странство с метрикой 'f\ik плоское, то можно положить

Го тп = 0 глобально. В этих координатах, с учетом (3.9), получим

а для тензора Риччи

Так как в определение (3.13) входят только тензорные величины, то оно будет справедливо в любой системе ко­ ординат.

71

ны нулю силы инерции, то правая часть в уравнении гео­

Розена—Колера полюсил гравитациисопоставляется тен­ зор, причем тензор gifl является тензорным потенциалом,

а7 )іа — тензорный потенциал мнимых сил. Геодезические

Если в качестве уравнений гравитационного поля принять уравнения Эйнштейна, то они будут иметь вид

где тензор Риччи определяется по формуле (3.13), а грави­ тационным силам отвечает введенный выше тензор. Су­ щественным моментом в формулировке уравнений поля является разделение инерционных и гравитационных сил (3.9).

Так как уравнения Эйнштейна подчиняются условию

то в собственно теории Эйнштейна можно ввести четыре дополнительных координатных условия, например усло­ вия де Дондера

72

Однако его недостаточно для определения связи g ik и i\lk, так как всегда можно четырьмя координатными преобра­ зованиями, не нарушая (3.18), перейти от заданного t\lk

К ПРОИЗВОЛЬНОЙ СВЯЗИ Т]ік и g ik.

В качестве примера рассмотрим сферически-симметрич-

однако асимптотическое условие (3.18) все еще выполняет­ ся, если положить

Отсюда следует, что для установления однозначной связи 'Oik и Ліа необходимы еще четыре координатных условия. Только в этом случае g ik и -qik фиксированы. Выбор допол­ нительных координатных условий кажется несколько искус­ ственным и неоднозначным. Однако можно воспользовать­ ся принципом соответствия с проверенной теорией слабого гравитационного поля по аналогии с условием де Дондера в теории Эйнштейна, записанным в ковариантном виде

Плохо только, что условие (3.22) не вытекает с необходи­ мостью из самой теории. Кроме того, недостатком теории можно считать сам факт введения, кроме gik, дополнитель-

73

ного тензора т]гА, который не входит в уравнения поля, а связан с ними лишь через дополнительные условия.

Тензор ~qik не входит также и в уравнения движения. По­ этому установление однозначной связи g iK и -г\ік особенно важно, иначе может возникнуть ситуация, когда различные гравитационные поля приводят к одинаковой картине дви­ жения частиц в этих полях. В теории Розена — Колера два решения с одинаковыми gik, но разными т\ік, приводи­ ли бы в этом случае к различному разложению в уравнении

Так как уравнения движения частиц во внешнем грави­ тационном поле следуют уже из слабого принципа экви­ валентности, то необходимость фиксации связи g ik и до­ полнительных полевых величин должна учитываться в лю­ бом варианте теории гравитации.

Выведем теперь уравнения гравитационного поля Ро­ зена — Колера из принципа действия. В отличие от теории Эйнштейна в теории Розена—Колера можно образовать

скалярную величину, билинейную noD ^H содержащую лишь первые производные метрического тензора. Для этого достаточно соответствующий аффинный скаляр теории Эйнштейна

понимать как плотность в нормальных координатах с

получаем уравнения Эйнштейна, так как (3.23) справедливо в нормальных координатах.

Дополнительные условия (3.22) не вытекают из этого вариационного принципа. При нашем выборе координат вариация функции Лагранжа по т)гй не приводит ни к ка­ ким новым уравнениям, а дает лишь тождество Риччи (3.16).

Чтобы в рамках биметрической теории получить зам­ кнутую систему уравнений поля, нужно сконструировать полный лагранжиан, в который входили бы g ik и і\ік и их первые производные. Но в рамках теории Розена — Ко­ лера такой лагранжиан определяется неоднозначно. Если

74

ограничиться функциями Лагранжа, однородно квадратич­ ными в нормальных координатах по скалярным плотностям g >k, содержащими первые производные от скалярных плот­ ностей и приводящими к симметричному тензору энергии — импульса, то можно показать, что существуют лишь две такие функции

У = ë m n ë r s ë " g тГ1 § Vt ( V — g ) ~ lm,

L 2 = ëm„ërsëUgr.Sl gr.St ( V ^ ë Y 1.

так что

ствуют еще три аффинные плотности, однако они не при­ водят к симметричному тензору энергии — импульса гра­ витационного поля. Варьируя (3.25), получаем полную систему уравнений Колера [2 ] в нормальных координатах:

причем Та= У — g Т\ есть тензорная плотность энергии—

импульса материи,

V .

есть тензорная плотность энергии — импульса гравита­ ционного поля, и справедливы равенства

Уравнение (3.26) есть результат вариации действия по giÉ, а уравнение (3.27) — по т\ік. Из (3.26) непосредственно сле­ дует условие

являющееся законом сохранения энергии — импульса в нормальных координатах.

75

Из уравнений (3.26) и (3.27) вытекает справедливость сла­ бого принципа эквивалентности. Кроме того, из (3.26) и (3.27) после некоторых преобразований можно получить

(3.31)

а это значит, что уравнения поля для у* и кц* удовлетворяют условию равенства нулю дивергенции тензора мате­ рии. И наоборот, если дивергенция тензора материи равна нулю, то уравнения для t]ik удовлетворяются тождествен­ но, т. е. они выбраны в теории Колера так, чтобы произвол выбора при фиксированному*соответствовал произволу определения у * из уравнения (3.26). А этот произвол, в свою очередь, ограничивается условием равенства нулю дивергенции тензора материи. Уравнения для т)ій можно рассматривать так же, как дополнительные условия на у*. Дополнительные условия Колера на t\ik имеют глу­ бокий физический смысл — они гарантируют справедли­ вость слабого принципа эквивалентности. В теории Ко­ лера нельзя произвольно выбирать у* и т)г* и вычислять затем тензор материи. Нужно всегда учитывать дополни­ тельные условия (3.27) .

Для величин L™ из (3.27) можно получить выражение

и если отбросить в производных от gmnчлены второго поряд­

ка. Здесь т\тп — тензор Минковского. Принимая это во вни­

76