Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

Так как кроме аффинной связности Агтпсуществует еще афин-

ная связность Кристоффеля {т„}, то можно ввести так назы­ ваемый тензор вращения Риччи

несимметричная часть которого и есть тензор кручения. Эйнштейн и Майер [7] показали, что в первоначальном варианте единой теории гравитации и электромагнетизма Эйнштейна поле статического сферически-симметричного источника не совпадает с полем Шварцшильда. В дальней­ шем была предложена новая система уравнений [9], ко­

торую можно получить из лагранжиана

обстоятельство, что в рамках теории Эйнштейна невозможно в принципе сконструировать такой комплекс энергии— импульса, который приводил бы к интегрально сохраня­ ющемуся 4-вектору энергии — импульса с правильными трансформационными свойствами при произвольных коор­ динатных преобразованиях. В качестве исходных уравне­ ний поля Меллер использовал уравнения Эйнштейна вмес­ те с 6 дополнительными условиями. Эти уравнения можно получить из вариационного принципа, если в качестве функ­ ции Лагранжа взять

где Z имеет вид дивергенции векторной плотности, а L0 определяется выражением

81

Отсюда следует, что и для аффинной тензорной плотности

также имеет место дифференциальный закон сохранения

Аффинную тензорную плотность (3.60) можно получить из

Так как суперпотенциал является истинной тензорной плотностью третьего ранга, то при чисто пространствен­ ных координатных преобразованиях

он преобразуется как антисимметричная тензорная плот­ ность второго ранга. Тогда Ѳ* = Ußr г преобразуется как

истинная векторная плотность, и энергия в конечном объе­ ме Ѵ3

82

оказывается не зависящей от выбора пространственных координат, т. е. энергия локализуема.

В случае замкнутой системы, когда метрика на беско­ нечности удовлетворяет обычным граничным условиям, ве­ личины

в асимптотически декартовых координатах от времени не зависят и преобразуются при линейных координатных пре­ образованиях как ковариантные компоненты свободного вектора. Суперпотендиал (3.63) и аффинная тензорная плотность (3.60) в случае статического сферически-симмет- ричного поля в изотропных координатах совпадают с су­ перпотенциалом Эйнштейна и псевдотензором энергии — импульса Эйнштейна, однако это не имеет места в случае произвольной системы координат.

Комплекс энергии — импульса (3.60) все же не являет­ ся установленным однозначно, поскольку не все компонен­ ты тетрад однозначно определены. Допустимы еще такие локальные лоренцевы преобразования тетрад, которые на бесконечности достаточно сильно отличаются от постоян­ ных значений и изменяют (3.60). Тетрады однозначно опре­ деляются лишь при помощи дополнительной системы шести полевых уравнений

и граничных условий, сформулированных в асимптотиче­ ски декартовых координатах

Такая интерпретация дополнительных полевых уравнений для тетрад соответствует первоначальной идее Эйнштейна.

83

Однако более последовательной является все же та точка зрения, когда тетрады отсчета и связанные с ними спинор­ ные поля считают принципиально необходимыми геометри­ ческими объектами для полного описания, совместно с мет­ рикой, гравитационного поля. Эта возможность была ис­ следована, например, Пеллегрини и Плебаньским [4]. Они опирались на исследования Вейценбека [8 ] по возможным инвариантам поля реперов и рассмотрели наиболее общую функцию Лагранжа, произвольно зависящую от h£, били­

нейную по первым производным от h^, являющуюся ска­

ляром и скалярной плотностью относительно координат­ ных преобразований и лоренцевых преобразований с по­ стоянными коэффициентами соответственно. Из функции Лагранжа можно получить затем семь псевдоскалярных инвариантов, которые, воспользовавшись символом Леви— Чивита еШт и тензором кручения Ь.тп,г можно записать

сительно глобальных преобразований Лоренца. Между ин-

84

т. е. определяется с точностью до четырех произвольных постоянных.

Для того чтобы фиксировать (3.72) однозначно, можно воспользоваться принципом соответствия, а именно выте­ кающая из (3.72) теория должна содержать в качестве своего предельного случая теорию Ньютона. Однако и принципа соответствия недостаточно для однозначного определения (3.72). Но можно ввести дополнительные огра­ ничения, т. е. можно исключить из рассмотрения те функ­ ции Лагранжа, которые не дают возможности в первом приближении полностью фиксировать тетрады. Руководст­ вуясь этими соображениями, Пеллегрини и Плебаньский взяли функцию Лагранжа в виде

Все результаты, полученные в теории с (3.73) в первом приближении или же в статическом сферически-симметрич- ном поле, остаются неизменными, если к (3.73) добавить еще

кз (/z ~~ ~2~ /з) ’

Функция (3.73) остается инвариантной только относитель­ но глобальных собственных лоренцевых преобразований тетрад. Если теперь к (3.73) добавить функции Лагранжа для бозонных полей LB и фермионных полей LF , то,

варьируя интеграл действия W по hA, получим

причем

SLp

У —g

есть соответствующий (3.55) тензор Эйнштейна, а

тензоры энергии бозонных и фермионных полей соответ-

85