Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

где

Vfm + ^ 2 8 тТ г= Ф т.

Если учесть (3.39), то в случае статического распределе­ ния однородной материи (для которой дивергенция тен­ зора материи равна нулю) получим метрику

(3.37) совпадает с соответствующим результатом теории

Для того чтобы в (3.37) коэффициент при (dx° ) 2 отвечал общепринятому для определения красного смещения при­ ближению, между К1 и Х2 должно существовать соотноше­ ние

Теперь уже можно выразить отклонение света и смещение

Для смещения перигелия нужно вычислить gm во втором приближении. Конкретные вычисления по (3.26) дают

* Ф — ньютоновский потенциал.

77

откуда, учитывая также (1 .2 0 ) и (1 .2 1 ), получаем формулу для красного смещения:

Если Хх = 1, то из (3.43) снова следует эйнштейновское зна­ чение смещения.

Как видим, конкретное смещение перигелия в сильной степени зависит от Хх. При Х ^ І А<р всегда положителен, но даже при дальнейшем уменьшении Хх смещение все еще превышает эйнштейновское значение. Например, при Хх = = 0,9 соответствующие величины имеют следующие кон­ кретные значения: Дф = 1,90", Дер = 1,15 Д?ЭйнштеШі.

В рассматриваемой теории уже в лагранжиане полагают Хх = 1 , что приводит, во-первых, к наиболее простому математическому оформлению теории и, во-вторых, к пол­ ному совпадению теории с теорией Эйнштейна в низших порядках приближения слабого поля. Расхождения с тео­ рией Эйнштейна (даже при X = 1) начинаются уже в выс­ ших порядках приближения слабого поля и, разумеется,

вслучае сильного поля.

Втеории Розена — Колера можно сформулировать за­ коны сохранения энергии, импульса, момента импульса и закон движения центра тяжести системы. Уравнение (3.30) справедливо только в нормальных координатах. В общем же случае следует написать

В теории Эйнштейна величина (Т* + U) является псевдо­ тензором, из которого можно получить лишь интегральные законы сохранения, связанные с определенным выбором системы координат. В теории Розена —‘Колера)уравнение (3.44) чисто тензорное. Так как пространство і)ІА плоское, то существует 10 векторов Киллинга, удовлетворяющих уравнениям

78

Поэтому из (3.44) обычным путем можно найти 10 строгих законов сохранения для величин

Гравитационная энергия локализуема, так как тензорная

торы Киллинга іт генерируют группу движений в прост­ ранстве с метрикой 7 ]ik, а не в римановом пространстве с метрикой glk, в котором как раз и происходит, в соответст­ вии с принципом эквивалентности, истинное движение ма­ териальной системы. Отсюда следует также, что нет такой материальной частицы, движение которой можно было бы использовать для измерения метрики т\ік.

§ 9. ТЕТРАДНЫЕ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ

Если в теорию Эйнштейна ввести тетрады, то из уравне­ ний гравитационного поля можно определить лишь метри­ ку

они могут быть определены только с точностью до произ­ вольных локальных лоренцевых вращений: теория инвари­ антна относительно этой группы преобразований. Тетрад­ ная переформулировка общей теории относительности Эйн­ штейна не дает новой физической информации. Эйнштейн уже в 1928 г. [6 ] пришел к мысли ввести в теорию в ка­ честве существенных физических величин, кроме самих тетрад, и 6 их комбинаций. Он имел в виду построить единую теорию гравитации и электромагнетизма, поэтому 6 дополнительных величин он пытался ассоциировать с по­ левыми величинами теории Максвелла и искал для них та­ кие уравнения, которые в приближении слабого поля сов­ падали бы с уравнениями Максвелла.

Полученная таким образом теория все еще оставалась бы инвариантной относительно глобальных лоренцевых преобразований тетрад. Геометрическая структура рима-

79

нова пространства обогащается в этом случае за счет абсо­ лютного параллелизма, позволяющего сравнивать рас­ стояния и направления в удаленных друг от друга точках.

Две физические величины (например, два вектора) равны, если равны их компоненты, измеренные относитель­

но тетрад hf*:

(знак « I » означает ковариантную производную по Агтп). В этой теории можно осуществить и конечный параллель­ ный перенос векторов; для этого достаточно, чтобы изме­ ренные относительно тетрад компоненты вектора в резуль­ тате переноса не изменялись. Из условия параллельного переноса вытекает требование на коэффициенты аффинной

Характерно, что абсолютно параллельная производная тетрады

тождественно исчезает вследствие (3.49). Это значит, что тензор Римана, определенный по (3.49), тождественно исче­ зает. В то же время тензор кручения

не равен нулю, откуда следует несимметричность Агтп. Тен­ зор кручения появляется при сложении векторов по пра­ вилу параллелограмма после параллельного переноса, выполненного различным образом по сторонам бесконечно малого параллелограмма, если начальная и конечная точки переноса лежат на его диагонали. Тензор кручения равен

80