Файл: Тредер, Г. -Ю. Теория гравитации и принцип эквивалентности. Группа Лоренца, группа Эйнштейна и структура пространства.pdf

поля для бозонных и фермионных полей вариация функ­ ции Лагранжа зависит лишь от вариации hj, то можно

получить соответствующие тождества для тензоров мате­ рии этих полей

(При выводе (3.81) и (3.82) использованы также соотноше­ ния (3.49), (3.80) и (3.53). )

В уравнениях (3.81), (3.82) в общем случае слабый принцип эквивалентности нарушается. Вследствие анти­ симметрии выражения у,ппг = h^hAn. г по m и п получает­

ся все-таки обычное динамическое уравнение, если тензор материи ферми-полей T(F)ік является симметричным. Сле­ довательно, это тот случай, когда L(F) есть действитель­ ная скалярная плотность относительно локальных преобра­ зований Лоренца и зависит лишь от qlk.

В действительности слабый принцип эквивалентности в форме, которая требует локального выполнения соотноше­ ний специальной теории относительности, приводит, как это было выяснено выше, непосредственно к таким уравне­ ниям поля, функции Лагранжа которых обладают отмечен­ ным свойством. При таком достаточно широком предполо­ жении теория Пеллегрини и Плебаньского оказывается в сущности бессодержательной и не составляет никакого про­ гресса по сравнению с теорией Меллера.

Так же, как и в теории Меллера, здесь можно для об­ щей функции Лагранжа (3.72) вывести комплекс энергии— импульса. Проще всего его можно получить, принимая во внимание то, что функцию Лагранжа, которая является билинейной относительно производных от hf, можно запи­

сать в общем виде:

является зависящим от hf тензором относительно любых преобразований координат. Вариация L(a] вместе с вариа­ цией функции Лагранжа материальных полей по h f дает

87

Величины РА представляют вектор энергии—импульса в системе отсчета hf\ относительно постоянных лоренцевых

преобразований системы отсчета они составляют один ло- ренц-вектор и не зависят от выбора координатной системы.

Теоремы сохранения можно выразить также и в обычной форме, если перейти от (3.87) к суперпотенциалу

88

Для k 2 = 0 из (3.90) получается точный суперпотенциал (3.63) Меллера вместе со следующим из него комплексом энергии—импульса Меллера. Очевидно, что, ограничива­ ясь асимптотически декартовой координатной системой и линейным преобразованием координат совместно с псевдо­ тензором энергии—импульса, мы в сущности получим ре­ зультат, эквивалентный введению тетрад отсчета, относи­ тельно которых измеряются энергия и импульс системы и для которых допустимы еще лишь постоянные преобразо­ вания Лоренца*.

В важном случае статического сферически-симметрич- ного распределения материи уравнения поля (3.77) прини­ мают вид

В изотропных координатах сферически-симметричный ли­ нейный элемент

и для которых тождественно исчезает FH2. Тем самым урав­ нения поля сводятся к уравнениям Эйнштейна, и решением (3.91), (3.92) будет решение Шварцшильда с фиксацией тет­ рад, заданных при помощи (3.93) и (3.94). Аналогичный результат получается в теории Меллера с дополнительны­ ми условиями (3.67).

Тем самым описанные тетрадные теории в случае сим­ метричного тензора материи не только удовлетворяют сла­ бому принципу эквивалентности, но также дают для крас­ ного смещения, для смещения перигелия и для отклонения света те же самые значения, что и теория Эйнштейна.

§ 10. ЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ ГРАВИТАЦИИ

Среди разнообразных биметрических' полевых теорий имеются также линейные гравитационные теории, которые были изучены Белинфанте и другими [10,11,12]. Важней­

* См. также §11.

89

шим членом в уравнениях поля является волновой опера­ тор \Hgik- Из простейшего полевого уравнения в вакууме

следуют значения Эйнштейна для отклонения света и крас­ ного смещения, если только ввести постоянную массы для статического сферически-симметричного поля. Для смеще­ ния перигелия получается тогда

— ~~Т~ Д^РЭіінштеЯні

О

т. е. на треть больше значения Эйнштейна. Обычное стати­ ческое сферически-симметричное поле зависит от двух по­ стоянных. В соответствующих координатах имеем

Äii = £ 2 2 = £зз = — (1 + am/r), g00 = 1 — 2mir. (3.96) Метрика (3.96) является линейным приближением уравнения

Эйнштейна—Розена с условием де Дондера (]/ —g glk)k=0. Связь с тензором материи Тк линейна и имеет вид потен­ циала

Ш іь = - 2 « f & ) = • (З-97)

Потенциалоподобный характер этой связи уясняется при

Связь типа (3.97) не является все же необходимой, а в та­ ком виде она неестественна, ибо (3.97) не выводится из ва­ риационного принципа.

Индексы в биметрических полевых уравнениях должны перемещаться с помощью метрики у]іи, так как лишь такое перемещение совместимо с волновым оператором. Уравне­ ние приобретает тривиальный вид

Уравнение (3.100)— снова линеаризованная форма урав­ нений поля Эйнштейна—Розена; его можно вывести из ва­ риационного принципа (член связи y-T)lg kiqik).

90