Файл: Скворцов, М. И. Теория и практика решения задач кораблевождения с учетом влияния систематических ошибок учебник.pdf

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 23.10.2024

Просмотров: 72

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

[phk]

= Plh\ + p2h\ +

... + Piiq + ... +

pjil;

[phi]

^-pji^

+ p2h2l2

4- ... - f pfi-h

- f

... + p„hjn) .

[phs]

=/?1 A1 51

+ p2h2s2

4- ... 4- plhisl

4- ... 4-p„h„sn .

Тогда матричному уравнению (1.42) будет соответст­ вовать система из т линейных уравнений с т неизвестны­

ми, которая

 

называется

с и с т е м о й

н о р м а л ь н ы х

у р а в н е н и й :

 

 

 

 

 

[раа] х{

+

[pab] х2 +

... + [pah] хт—

[pal] = 0 ;

[pab] ~х, +

[pbb] х2+...

+

[рЩ хт -

[рЫ\ =

0; (1.53)

[pah] хх

4- [pbh] х2 4- ... 4

- [phh] х,„ — [phi] =

0.

Наиболее удобно решение системы нормальных урав­ нений по схеме Гаусса. При этом одновременно произво­ дится обращение матрицы АТ РА> т - е - вычисление эле­ ментов матрицы (Ат РА)-1 • Контрольные суммы

[pas] =/? 1 « 1 s 1 4- / W ? 2 + ••• + / W ? n ;

'. (1-54)

[phs] = p^Sj 4- p2h2s2 4- ... -4- pnhnsn

служат для контроля правильности вычислений. Полученные при решении системы нормальных уравне­

ний оценки хи Хо, .... x-j xm искомых величин подстав­ ляются в уравнения поправок (1.26): вычисляются откло­

нения Vi результатов

измерений от их уравновешенных зна­

чений, затем

вычисляется

сумма

 

 

VTPV = [pvv] =Plv\

+ p2vl

+ ... - f p~v\ +

... 4-p„vl,41-55)

по формулам

(1.47)

и (1.48) находятся

оценки

о(э1} дис­

персии измерения, вес которого принят

равным

единице,

ц корреляционной матрицы К~ . Пример этих вычислений

приведен в §

3.4.

£

Исторически

сложилось

так, что в кораблевождении

свободный член уравнения поправок вычисляется по фор­ муле (1.28) как разность измеренного (исправленного всеми учитываемыми поправками) и вычисленного (исходя

27"

из приближенных значений искомых величин) значений измеряемой величины. В общепринятых схемах решения нормальных уравнений свободному члену приписывается противоположный знак. Поэтому впредь будем обозна­ чать

пр>? 2 пр> •••> %j пр> •••» %т пр). (1.56)

Алгоритм последовательного уточнения оценок иско­ мых величин представляет собой одну из разновидностей способа двухгруппового решения систем нормальных урав­ нений, разработанного Бесселем по идее Гаусса. Иногда этот алгоритм называется также объединением распреде­ лений [16], линейным динамическим фильтром или комплексированием измерений. Но выражение «последова­ тельное уточнение оценокискомых величин» лучше отра­ жает его сущность.

Пусть измерения выполнялись группами. Сначала вы­

полнено п? измерений

первой

группы, затем а" измерений

второй группы, по результатам

каждого

измерения состав­

лено свое

уравнение

поправок

(1.26).

Предположим, что

истинные

остаточные

ошибки

/'-го измерения первой груп­

пы и i" - r o измерения

второй

группы при любых V и I" яв­

ляются взаимно некоррелированными случайными величи­

нами, так что корреляционная

матрица

вектора

истинных

остаточных

ошибок

измерении

имеет

вид

 

 

 

 

 

 

 

(1.57)

где

К: — корреляционная

матрица

вектора

Д( 1 ) ис­

 

 

тинных остаточных ошибок измерений пер­

 

 

вой

группы;

 

 

 

 

Кг

— корреляционная

матрица

вектора

4( 2 ) ис­

 

 

тинных остаточных ошибок измерений вто­

 

 

рой

группы;

 

 

 

оп'п">

п п

нулевые матрицы.

 

 

Будем

считать матрицы К\ и /Сг .неособенными. Тогда

из правила (3.25) обращения квазидиагональной

матрицы

следует,

что

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1.58)

 

 

 

а (1)

 

 

 

28

где

 

•к,

- 1

(1.59)

^ 2 =

 

5 (D

°(D.

 

 

Обозначим символом Л блочную матрицу коэффициен­ тов при неизвестных, символом L — блочную матрицу сво­ бодных членов совокупной системы уравнений поправок:

 

 

А

=

 

 

 

 

 

U

 

 

 

(1.60)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где Ах

\ai4

U •

• матрица

коэффициентов

при

неизве­

 

 

 

стных

в

уравнениях

поправок

(1.26)

 

 

 

первой

группы;

 

 

 

 

4 l = | K v l U » '

•то

же,

в

уравнениях

 

поправок вто­

 

 

 

рой

группы;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

•вектор свободных членов (1.28) урав­

 

 

 

нений

поправок

первой

группы;

 

U

 

n'l

-то

же,

в

уравнениях

поправок

второй

 

 

группы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Если результаты измерений первой и второй групп об­

рабатываются

совместно, то «а основании

правила

(3.16)

с учетом

соотношения

 

(1.58)

мы

придем

к

следующей

записи равенств (1.43),

 

(1.35)

и

(1.48):

 

 

 

 

 

X =

(В, + В2)~1

(AlP.L,

+

AlP2L2);

 

(1.61)

 

 

 

 

~1 = ЪР +

Х;

 

 

 

(1.62)

 

 

/С =

^ 1

) ( 5 1 +

5 2

Г 1 ,

 

 

 

(1.63)

где

 

B^AlP^Ai

 

 

В? =

А1Р2А2.

 

 

(1.64)

 

 

 

 

 

 

Предположим теперь, что обработка результатов изме­ рений первой и"второй групп ведется раздельно. По ре­ зультатам измерений первой группы составлены нормаль­ ные уравнения, найдены вектор *.#i=='| xj^)\m\ первич­ ных поправок к приближенным значениям искомых вели­ чин и вектор £с = || ZjC \\п1 оценок, которые мы будем

29

называть счислимыми значениями искомых величин, оце­

нена корреляционная матрица Л"г~:

X^BT'AJP^

(1.65)

ic = E„-p +A-t ;

(1.66)

К^^В-К

(1.67)

Поставим себе задачу найти такой вектор Х2 =

xj (2) mi поправок к счислимым значениям искомых величин (вторичных поправок к' приближенным значе­ ниям искомых величин), чтобы уравнивание результатов измерений второй группы приводило к тем же оценкам искомых величин, что и совместная обработка измерений первой и второй групп, т. е. чтобы удовлетворялись ма­ тричные равенства

Г с +

 

 

(1.68)

Х. + Х^Х.

 

 

(1.69)

При вычислении свободных

членов

уравнений попра­

вок второй группы в формулу

(1.28)

будем

подставлять

не произвольные приближенные,

а счислимые

значения ис­

комых величин, найденные в результате обработки изме­

рений

первой

группы:

 

 

 

 

 

/,с =

^ - Ф | ( б 1 с

Iy e, - - L ) .

(1-70)

Поскольку S- =

£ур +

х

д1) >

то, учитывая

обозначение

 

;

c

П

 

 

 

(1.27),

с точностью до

 

величин второго порядка малости

должно

выполняться

равенство

 

hc—h—2~—'

 

di •' ' X J

(i) — ^ ~~ 2 aijxj

( l ) ' 0*71)

или, принимая во внимание ранее введенные обозначения матриц А2 и L2, в матричной записи

30

Смотрите также файлы