Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Теперь совершенно ясно, как обобщить полученный результат. Например, если функция un(t) принимает одно из конечного числа возможных значений ии . . . ,ит и последовательность {ы„} слабо сходится к нулю, то

В качестве простого примера задач оптимизации, иллюстрирующего необходимость введения обобщенных кривых, рассмотрим следующую задачу.

Минимизировать JI x(t)2dt

о

при ограничениях

X (t) = Jt и (s) ds,

о

где « ( ' ) е і 2(0, 1) и

u(t)— ± 1 почти всюду.

Положим

тогда {ип( •)} — минимизирующая последовательность, поскольку интеграл

о

сходится к нулю при всех t, а последовательность {хп (/)} ограничена, так что

lim Jxn{tf dt — 0.

о

В то же время нижнюю грань последовательности {ип{ •)} не может достичь ни одна функция «(•) из L 2 (0, 1), удовлетворяющая принятому ограничению, так как такая функция почти всюду обращалась бы в нуль. Но если допустить, что функция «(•) может быть обобщенной, то эта нижняя грань достигается, если

на случай, когда значения u(t) принадлежат некоторому

й p(t, •) — такое семейство вероятностных мер на лебе­ говых подмножествах в U, что для любого многочлена р(и) интеграл

J р (и) dp (t, и)

измерим по Лебегу относительно t. Тогда существуют такие пг + 1 функций ak (t), что

Другими словами, всегда можно найти такое семей­ ство атомарных вероятностных мер, претерпевающих не более чем in + 1 скачков, что интеграл по этой мере будет равен исходному.

Д о к а з а т е л ь с т в о . Для каждого t рассмотрим выпуклую оболочку множества

C = {g(f, и): « £ [/} .

Поскольку функция g{t, и) непрерывна по и, а мно­ жество U компактно, то С также компактно. Следова­ тельно, его выпуклая оболочка компактна и замкнута. Согласно классическому результату Каратеодори (см. [1]), любую точку выпуклой оболочки можно представить в виде выпуклой комбинации не более чем т + 1 точек из С. При каждом t интеграл

J g (t, и) dp (t, и)

и

принадлежит выпуклой оболочке множества С, так как p(t, •) — вероятностная мера, а функция g(t, и) непре­ рывна по и. Но тогда в силу теоремы Каратеодори

что и требовалось доказать.

Заметим, что здесь не утверждается, что каждая функция ak (t) измерима по Лебегу, хотя, конечно, из­

кривая (ведь ей соответствует атомарная мера с ко­

„вибрирует“ между этими значениями uk(t)\ отсюда и одно из названий такого типа управлений — вибрацион­ ное управление. Использование теоремы Каратеодори в этой связи было предложено Р. В. Гамкрелидзе.

Глава 2

ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА В ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

В теории оптимизации важную роль играют выпук­ лые множества и отделяющие гиперплоскости. В даль­ нейшем, для того чтобы избежать необходимости вы­ деления вещественной части скалярного произведения, мы всюду будем предполагать, что рассматриваемые

в конечномерных пространствах. Напомним, что вну­ тренней точкой множества называется точка, вокруг которой можно построить некоторую (достаточно малую) сферическую окрестность, целиком содержащуюся в дан­ ном множестве. Множество всех внутренних точек некоторого множества называется его внутренностью. Естественно, что оно может быть пустым. Граничной точкой множества называется точка, не принадлежащая ни внутренности этого множества, ни внутренности его дополнения. Отсюда, в частности, следует, что каждая граничная точка является предельной точкой и самого множества, и его дополнения.

Опорный функционал выпуклого множества

С каждым замкнутым выпуклым множеством С в Я можно связать определенный на Я функционал

fs(A) = sup[A, у], А е Я ;

г/ес

при этом допускается, что он может принимать беско­ нечные значения на некоторых (а возможно, и многих) элементах h из Я. Такой функционал называют опор­ ным функционалом выпуклого множества С. Легко

проверить, что для каждого положительного числа /

fa Ш = tfs (h)

fs{h\ + h2) ^ fs (hi) + fs (h2), h[t Л2 e H.

Если обозначить через Pc (-) оператор проектирования на С, то, согласно (1.10),

f s ( h - P c (h)) = [ h - P c (h), Pc (h)].

Вообще если для iioéépè элемента h из Н

то точка X называется опорной точкой, а гиперпло­ скость

называется опорной гиперплоскостью для С, проходящей через точку х. При этом в неявном виде утверждается, что X — граничная точка множества С, в чем легко убедиться непосредственно. В самом деле, если

свойства слабой компактности ограниченных замкнутых множеств (теорема 1.3) для некоторого элемента х из С

°°> fs (h) = [h, х].

Заметим, что опорные функционалы всегда слабо полу­ непрерывны снизу.

Тогда для любого h из Н

[A, y] = \h, Уо]+ [h, У— Уо[.

Применяя неравенство Шварца для оценки второго члена в правой части, получаем

sup [h, у] < [h, г/uj + m || h ||. yesC