Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 96
Скачиваний: 0
48 |
Глава / |
выявить некоторые принципиальные моменты. Итак, по скольку пространство Q компактно, для любого п можно построить сетку
о = и X t//,
и
где множества £/? попарно не пересекаются, | Ті | < 2~п, \U[\< 2~п ( I • I — лебегова мера). В качестве множеств Т/
удобно взять полуоткрытые интервалы. Каждому такому разбиению поставим в соответствие следующую функ цию un(t), 0 < / < 1 . Выберем в 7 \ Х Д / произвольные ТОЧКИ (/*, Uij) и положим
|
|
Хц= |
Jd\i{th и). |
|
|
|
|
иі |
|
Легко видеть, |
что |
2 ^ г / = 1 |
и, следовательно, |
|
|
|
і |
|
|
|
|
2 Ті%ц — ТI. |
||
Разобьем |
Т{ на |
подинтервалы Т ^ц , также полуот |
||
крытые. Зададим un(t) равенствами |
||||
|
un(t) = Uii |
на |
Т[кц = Ти. |
|
Ясно, что функция u(t) измерима (она кусочно-по стоянна). Далее, пусть f(t,u) — любая непрерывная функция. Тогда для всякого е > 0 можно найти такое п, что
|/(/, u ) - f ( t h « , / ) ! < ! , |
(/, u)e=Tt X U h |
||||
\ f(t, |
и) — f (th и) \< |
J , |
t ^ T { , и любое. |
||
Имеем |
|
|
|
|
|
|
f(t, un(t))d t= '2 i |
j f(t, Иц) dt |
|
||
и |
|
' |
ГЧ |
|
|
|
|
|
82-" |
||
S I |
un)dt — |
(^> “u ) Tn < e T t < |
|||
3 • |
|||||
I Tц |
/ |
Основные свойства гильбертовых пространств |
49 |
Кроме того,
|
J |
f(t, u)dp = |
|
[f(iit и) du |
< |
е2~ |
|
|||
|
Tt x u |
т ^ х и |
|
|
|
|
|
|||
|
|
Г f(th |
u)d\L = |
Tl |
ff(tt, u) dp (th |
u), |
|
|||
|
Tt X U |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
Ti |
I f(ti, u) dp (tlt «) — T i ^ f i i i , |
Uij) X |
|
< e2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
|
T t l i f (ti, Uij) hij = 'ytf (ti, |
Ui/) Tij. |
|
|
|||||
Поэтому |
/(t, Un(t)) dt — |
|
f t, и/)dp( |
|
|
|
|
|||
|
[ |
|
< e2 |
|
|
|||||
|
T, |
|
|
Tt x u |
|
|
|
|
|
|
и, следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
J f(t, |
un(t))dt — |
J f{t, u) dp. |
< |
e. |
|
|
||
(Таким |
образом, |
основной шаг — это связать |
Хц с ин |
|||||||
тервалами |
TiXij, а затем воспользоваться компактностью |
|||||||||
пространства Q.) |
|
|
|
начали. |
|
Заметим, |
||||
Теперь вернемся к тому, с чего |
|
|||||||||
что для |
любой непрерывной |
функции g (t) |
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J g(t)P{Un (t)) dt= j g(t)p (и) dpn= |
|
|
|
|
||||||
0 |
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Jg(t)dt J p (u)dpn(t, и), |
|||||||
|
|
|
о |
и |
|
|
|
|
|
|
где Воспользуемся знаменитой теоремой Хелли о слабой компактности мер на компактных про странствах. Согласно этой теореме, существует такая подпоследовательность (мы снова будем обозначать ее
через Рп(- )). чт0 для любой непрерывной функ^
ции f{t, и)
j f(t, и) dpn-> J f(t, и) dp.
и °
50 |
Глава 1 |
|
|
Чтобы показать, |
что ц ( - ) принадлежит |
Щ, заметим.» |
|
что последовательность {p(un(t))} слабо сходится. Обо |
|
||
значим ее предел через v(t). Тогда для каждой непре |
|
||
рывной функции g (t) |
|
|
|
1 |
|
|
|
J 8 (0 Р (ип(0) dt = |
J g (t) р (и) dßn -> |
|
|
о |
я |
1 |
|
|
-* J 8 (0 Р («) Ф = |
|
|
|
J g (0 V (0 dt. |
о |
|
|
а |
|
|
А так как функция g( •) произвольна, то
О (0 = J Р{и) dp (/, м).
и
В частности, это дает ответ на вопрос, с которого мы начали. Если мы распространим понятие измеримых функций на вероятностные меры на U, для которых для каждого многочлена интеграл
J Р(и) dp {t, ü)
и
измерим по Лебегу, то можно утверждать, что если {ц„} слабо сходится к и0, то и [р (ип)} слабо сходится к р (и0). Этот результат играет важную роль в теории суще ствования оптимальных управлений.
П р и м е р 1.9. |
Пусть |
|
un{t) |
sin яntI |
0 </< 1. |
I sin яnt \ ’ |
Какова предельная обобщенная функция? Заметим, что при каждом t функция dpn{t, и) претерпевает скачок либо в точке +1, либо в точке —1. Поэтому
J р{и) dpn(t, u) = an{f)p{l) + ( l - a a(t))p{-l),
Основные свойства гильбертовых пространств |
51 |
где |
0 ^ a „ ( f ) ^ l , |
и, следовательно, |
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
1) d |
1 |
J |
(1an(t))f{t,— |
— 1)dt-> |
||
J f{t, u)dцп = I an{t) f {t, |
/ + |
||||||||||
Q |
|
0 |
1 |
|
|
0 |
I |
|
|
|
|
|
|
- > |
|
1) Л |
+ |
|
|
|
l)df; |
||
|
|
Ja{t)f{t, |
J—(1a(t))f(t, — |
||||||||
|
|
о |
|
|
|
о |
|
|
|
|
|
Таким образом, предельная мера р такова, что dn(t, и) |
|||||||||||
претерпевает скачок в точке +1, |
равный a(t), |
и скачок |
|||||||||
в точке |
—1, равный 1 — a(t). |
Но |
|
|
|
|
|
||||
|
I |
I |
|
I |
|
|
1 |
(1— а (t)) dt, |
|
||
|
Jи dp„ (/,и) -> J а (t) dt — j |
|
|||||||||
|
о |
и |
|
о |
|
|
о |
|
|
|
|
так |
что |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J a(t)dt = - j . |
|
|
|
|
||||
Кроме того, |
о |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
J |
Judiin(t, и) = |
( + 1\ )an{t)dt + { - \) / |
( 1 - а |
„ ( |
0 ) Л = |
||||||
Д U |
|
|
А |
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
= J ua ( t ) d t - > О, |
|
|
|
|
|
||||
и поэтому |
д |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Другими словами, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
P (U a (0 )^+p(u)dn(t,J |
a |
) = |
- j |
p ( |
l ) |
+ y () lp (— |
1), |
||||
ипредельная мера „вибрирует“ между значениями -}-1 и' —1 с равными вероятностями перехода. Заметим, что
un{tf
что и следовало ожидать.