Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 24.10.2024
Просмотров: 95
Скачиваний: 0
42 |
|
|
Глава 1 |
|
|
В силу слабой сходимости можно выбрать хПі так, |
чтобы |
||||
|
|
I |
[х,і„ хп.,] I <С 1. |
|
|
Выбрав |
хП{, |
xnk, |
можно, |
очевидно, взять |
Xnk+] |
таким, |
чтобы |
|
|
|
|
|
І[*лг, |
*nft+I] | < y , |
і = 1, 2, |
|
|
А так как, согласно принципу равномерной ограничен ности,
< О О ,
то с помощью обычных правил вычисления скалярных произведений находим
I V |
- У [ ш + |
2(fe~ 1) |
2 (А — 2) , |
, 2 1 |
Ь Z J |
|
k — 1 |
~ 7 = Г + |
+ t J - |
что доказывает сильную сходимость к нулю средних арифметических.
Приведем один важный пример применения этого результата.
П р и м е р 1.8. Пусть Н = L2(0, 1) и {«„(/)} —после довательность таких функций, что почти всюду по t
un(t)E=Cv,
где Сѵ — замкнутое ограниченное выпуклое множество. Тогда существует подпоследовательность [unk{ •)), слабо сходящаяся к и0(•), где и0(t) е Сѵ почти всюду по t. {Указание-, если через С обозначить множество
{/ (0: f V) е с ѵ почти всюду},
то, как уже отмечалось, С замкнуто и выпукло; к тому же здесь оно еще и ограничено. Поэтому (в силу слабой
компактности) можно найти подпоследовательность {“"*(')}• слабо сходящуюся к и0(-)> а по теореме 1,6
М - ) е С . )
Основные свойства гильбертовых пространств |
43 |
Если |
множество |
С не |
выпукло, то этот |
результат |
|
неверен. |
В самом деле, пусть С — множество, |
состоящее |
|||
из двух |
точек |
—1 |
и +1, |
Н = L^(— 1, +1) и |
|
|
|
|
un(t) |
sin nt |
|
|
|
|
I sin nt I |
|
|
|
|
|
|
|
|
Легко видеть, |
что в этом случае {ип( •)} слабо сходится |
||||
к нулю. |
|
|
|
|
|
Наконец, отметим, что теорему 1.6 можно было бы сформулировать иначе: всякое выпуклое сильно замкну тое подмножество слабо замкнуто. (Этот результат приписывают Мазуру, доказавшему его для рефлек сивных банаховых пространств.)
Приведем еще одно следствие, относящееся к случаю выпуклых функционалов. Напомним, что вещественный функционал / ( • ) называется выпуклым, если
f(Qx + (1 - Ѳ) г/)< Bf (X) + (1 - Ѳ)/ (у), 0 < Ѳ< 1.
С л е д с т в и е 1.6. (Слабая полунепрерывность снизу выпуклых функционалов.) Пусть f (•) — непрерывный выпуклый функционал на Н. Тогда если {хп} слабо сходится к X, то
1іmf(x n)>f{x) .
Д о к а з а т е л ь с т в о . Построим такую подпоследо вательность, при необходимости перенумеровав ее члены, что
lim / jxn) = lim f jxm),
а затем еще раз перенумеруем ее, чтобы (по теореме 1.6) последовательность средних арифметических1
1
сильно сходилась к х. Тогда в силу выпуклости
44 |
|
Глава / |
|
и, следовательно, |
|
|
|
lim п |
f ^ |
= limf W ^ limf |
S xkj = / (*), |
что и требовалось доказать.
З а д а ч а 1.10. Пусть С — замкнутое выпуклое мно жество в Н. Обозначим через Р(х) проекцию элемента х на С. Доказать, что отображение Р ( - ) непрерывно.
Решение. Пусть {хп} (сильно) сходится к х. Тогда, поскольку для любого у е С (в предположении, что С не пусто)
\\ Хп-Р{х п)\\^\\Хп - у \ \ ,
ясно, что нормы IIР (хп) II ограничены. Согласно тео реме 1.3, для любой подпоследовательности найдется своя подпоследовательность, слабо сходящаяся к эле менту из С. Обозначим этот элемент через z. Для про стоты перенумеруем подпоследовательность (Р(х„)} так, чтобы она слабо сходилась к z, и рассмотрим ее под последовательность, для которой сходится и {Л (дг„) II}. В силу следствия 1.4
||z||< lim ||P (x „)||.
С другой стороны, из неравенства (1.5) следует, что
Re [хп —Р (хл), у] < Re [хп — Р (хп), Р (*„)], і / е С .
Полагая y = z и переходя к пределу (здесь придется воспользоваться сильной сходимостью последователь ности {.*„}), получаем
Re[х — г, z ]< R e [х, z] — lim[Р(х„), Р (*„)],
откуда ||2 | | ^ 1іт|ІР (хп)|| и, следовательно,
lim ИР (хп) IK II г IK lim у Р (хп) ||.
Это означает, что {||Р(х„)||} сходится к ||z||. В силу теоремы 1.5 (Р(х„)} сильно сходится к г. Переходя к сильным пределам в неравенстве
Re [хп — Р (*„), у] < Re [хп — Р (хп), Р (х„)], j/s C ,
Основные свойства гильбертовых пространств |
45 |
получаем
Re [х — z, у] ^ Re [х — г, г], у ^ С ,
или z = P{x). Таким образом, для любой подпоследо вательности последовательности [Р(хп)} найдется своя подпоследовательность, сильно сходящаяся к единст венному пределу Р{х), а значит, и сама исходная по следовательность сильно сходится к Р(х), что доказы вает непрерывность отображения Р(-).
Нелинейные функционалы и обобщенные кривые ')
Пусть р( - ) — многочлен (вещественной) переменной и u ( t) ^ L 2(О, 1). Разумеется p(u(t)), вообще говоря, не принадлежит L2(0, 1). Предположим, однако, что нас интересуют лишь ограниченные функции:
« ( • ) e L 2(0, 1), \u(t)\^ . m почти всюду.
Тогда, конечно, p{u(t)) будет принадлежать Ь2(0, 1).
Пусть {ип (t)} — слабо |
сходящаяся |
последовательность, |
|||
для которой | «rt(f) | ^ |
яі почти |
всюду; |
обозначим |
ее |
|
слабый |
предел через |
u0(t). Ясно, |
что |и 0( / ) |^ т . Рас |
||
смотрим |
последовательность {p(un(t))}. |
Это также |
по |
||
следовательность ограниченных функций, а значит, |
из |
||||
нее можно выделить слабо сходящуюся |
подпоследова |
||||
тельность, которую после подходящей перенумерации мы будем снова обозначать через {р (ип (•))}• Вопрос состоит в том, к какому пределу она сходится. Совер шенно ясно, что в общем случае
»о( • ) = s-limp(u„( •)) Ф р(и0{ •)); |
|
в качестве примера можно |
взять |
, , , |
sin яnt |
Un' ' |
I sin m t I |
Ответить на этот вопрос (играющий центральную роль в ключевой теореме существования теории оптималь ного управления) можно, воспользовавшись понятием „обобщенной“ кривой, введенным Янгом. Рассмотрим
') Этот раздел при первом чтении можно опустить.
46 |
Глава 1 |
для этого прямое произведение пространств
а = і х и ,
где / — отрезок [0, 1], а U — замкнутое ограниченное подмножество множества вещественных чисел. Пусть обозначает ст-алгебру измеримых по Лебегу подмно
жеств в Q, °У — класс (регулярных) вероятностных мер, определенных на SS и таких, что для р е ^
р ( Д Х Я ) = j dtix (B \t),
д
где Д — интервал в I, В — лебегово подмножество в С/, а условная вероятность р (5 |/) измерима по Лебегу относительно t. Предположим, что p(ß |/) для каждого/ определяет некоторую вероятностную меру на лебеговых подмножествах в U, за исключением множества с лебе
говой |
мерой нуль, |
причем |
множество исключительных |
|||||
точек |
не |
зависит |
от |
В. |
Пусть |
f(t, и) — непрерывная |
||
функция |
на Q, |
/ е |
/, |
« e t / . |
Тогда для каждого ц е ^ |
|||
|
|
J f {t, |
u)d]i= J dt |
J f (/, и) d\L (t, u), |
||||
|
|
Q |
|
|
I |
V |
|
|
где через |
|
|
J f (t, |
|
|
|
||
|
|
|
|
и) dii (t, |
и) |
|||
|
|
|
|
и |
|
|
|
|
обозначен интеграл функции f(t, •) по условной вероят ностной мере р (В I /). Легко видеть, что функция
J |
f (/, и) dii (/, и) |
и |
|
измерима по Лебегу относительно t и ограничена. Далее, пусть «(/) — произвольная измеримая по Ле
бегу функция, для которой u { t ) ^ U почти всюду. Тогда
Основные свойства гильбертовых пространств |
47 |
для любой непрерывной функции /((, и) интеграл
|
|
J |
f (t, и (0) dt |
||
|
|
I |
|
|
|
определяет непрерывный линейный функционал на C(Q). |
|||||
Более того, |
каждой |
функции |
и (t) можно поставить |
||
в соответствие некоторую вероятностную меру р из |
|||||
положив |
|
|
В) = J dtL (/, В), |
||
|
р (Д X |
||||
где |
|
|
д |
|
|
|
[ 1, если |
« M e ß , |
|||
L (t, |
В) = |
||||
„ |
в противном случае. |
||||
4 |
|
1 0 |
|||
Другими словами, р ( В \t) — атомарная мера, т. е.
1, если u ( t ) ^ B ,
р (ß 1/) =
О в противном случае.
Кроме того,
p ( / X ß ) = /\t)dtи (=Д
1
= лебегова мера множества {t'. u(t) e ß } .
Обозначим класс таких атомарных мер через Ща. Тогда множество Ща плотно в в слабой »-топологии, т. е. для кансдой непрерывной функции f(t, и) интеграл
J /(*,«) dp,
й
можно приблизить с помощью атомарной меры из Ща\
{ f (t, и (t)) dt,
/
где функция u{t) измерима по Лебегу и почти всюду принимает значения из U.
Наметим теперь схему построения понятия обобщен ной кривой (принадлежащего Янгу), что позволит