Файл: Балакришнан, А. Введение в теорию оптимизации в гильбертовом пространстве.pdf

Т е о р е м а 2.9. (Фаркаш.) Пусть А обозначает (тУ^п)- матрицу с вещественными элементами, а у — векторстолбец из евклидова пространства Еп, для которого

дого m > 0 обозначим через Рт конус векторов из Ет с неотрицательными компонентами. Обозначим через С выпуклое множество

{ А * х : X е P J .

Потом мы докажем, что множество С замкнуто, а пока примем это на веру.

Предположим, что у не принадлежит С. Обозначим

Перебирая по очереди векторы 2 , у которых все ком­ поненты, кроме оДной, равны нулю, получаем, что все компоненты вектора А{у0 — у) неотрицательны:

А{у0 — У ) > 0-

Но тогда в силу (2.18)

С другой стороны, полагая в неравенстве (2.19) 2 = 0, получаем [г/0 — у, г/0] ^ 0. Так как мы предположили,

что невозможно, поскольку ||z„||—>оо.

Итак, Q не пересекается с внутренностью конуса Рт. Но тогда по теореме 2.2 найдется ненулевой вектор ѵ, для которого

sup [v, q] < inf [v, р].

Отсюда сразу следует, что о е Р я и [u, Q] = 0, т. е.

v<=Pm[\QL.

Рассмотрим сначала крайний случай

где Ѳ— нулевой вектор. Предположим, что Qx не пере­ секается с внутренностью конуса Рт. Тогда, как и раньше, можно найти ненулевой вектор р е Рт, для которого [р, Q-1] = 0, т. е. p ^ Q [ \ P m, что противо­ речит (2.21). Поэтому найдется вектор p e Q 1, все ком­ поненты которого положительны. Тогда все компоненты вектора Ах0 + Мр при достаточно большом N также положительны. Поскольку Qx совпадает с нуль-про­ странством оператора А \ имеем

А'*{Ах0) = А* {Ах0+ Np),

и теорема для рассматриваемого случая доказана. Распространить это утверждение на общий случай

нетрудно: для этого достаточно скомбинировать крайние случаи. Обозначим через р+ вектор из РтП Q с наи­

большим числом положительных компонент (пусть их k). Для удобства запишем (изменив, если необходимо, порядок компонент)

принадлежит Q1 и, следовательно, для достаточно

больших N

А* {Ах0+ Nr) — А* {Ах0),

Теорема, наконец, доказана.

Дифференциальные игры

По сути дела дифференциальная игра — это игра,

исход которой определяется поведением некоторой упра­ вляемой динамической системы. Например, в игре двух

причем начальное условие x(0) считается заданным.

мы будем в дальнейшем называть просто допустимыми. Аналогично преследуемый может выбирать управле­ ния v{t), которые тоже должны быть измеримыми по Лебегу и должны удовлетворять ограничёнию ѵ(t) е Кѵ почти всюду, Ка— замкнутое ограниченное множество в евклидовом пространстве Ер. Эти управления мы тоже

будем называть допустимыми.

Считается, что игру можно завершить за время Т,

если независимо от того, какое управление выбрал преследуемый, у преследователя всегда найдется соот­ ветствующее управление, для которого Иях (Г) |KJd, где я — оператор проектирования из Еп на Ek, а с?—фикси­

ного состояния х(0). Как легко видеть, для того чтобы

94 Глава 2

Действительно, поскольку игра может быть завершена в этом случае независимо от выбора допустимого упра­ вления о(-). ПРИ любом фиксированном ѵ( - ) должно выполняться неравенство

inf II яд: (Г) II ^ .d , «(■>

а отсюда следует условие (2.23). Заметим, что условие (2.23) к тому же будет и достаточным, если для лю­ бого ѵ( ■) найдется такое (допустимое) управление и( •), что

II яхи(Т) || = inf Кял (Г) II. «(■)

Однако не столь ясны оставшиеся вопросы существо­ вания седловых точек (оптимальных стратегий) и пере­ становочности операций inf и sup. Мы рассмотрим лишь второй, более простой вопрос. И даже для него пра­ вильнее называть задачу не дифференциальной игрой, а просто задачей погони.

Линейные игры с выпуклыми ограничениями

Рассмотрим линейную задачу, т. е. задачу, в которой определяющая динамическая система линейна. Положим

X (t) — Ах (t) -f Ви (t) + Сѵ (t),

где для простоты матрицы А, В и С считаются по­ стоянными. Тогда, естественно,

г

ях(Т) = яФ (Т) х(0) -f я J* Ф (Т — s) Bu(s) ds +

и мы будем пользоваться обозначением ял (Т) = Z {Т, и (•), V(•), л (0)).

Выше через Ф(/) мы обозначили матрицу фундамен­ тальных решений линейного уравнения, выписанного

Оба множества ограничены и выпуклы. Более того, они замкнуты. Действительно, пусть

г

г/„= я ] Ф(Т — s)ßun(s)ds,

о

а так как множество Ди ограничено, то можно выбрать последовательность {«„( •)}, слабо сходящуюся в L2{О, Г) к некоторому элементу, скажем и0. Ясно, что и0(і) также принадлежит Ки почти всюду и

т

у0= lim уп = п j Ф (Т — s) Ви0(s)ds.

о

Аналогично можно убедиться в замкнутости множе­ ства Обозначим через fu(•) и /0 (•) опорные функ­ ционалы множеств Q„ и Q0 соответственно. Теперь мы подготовлены к тому, чтобы сформулировать необхо­ димые и достаточные условия возможности завершения игры за время Т.